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1、2018 全国 3 卷第 21 题的命题背景及解法探究 例.（2018 全国 3 卷第 21 题）已知函数xxaxxxf21ln2 2 （1）若0a，证明：当01x时，0xf；当0x时，0xf； （2）若0x是xf的极大值点，求a 【解析】（1）若0a，则 2 2 1ln221ln2 x x xxxxxxf 令 2 2 1ln x x xxg，则0 212 4 1 1 2 2 2 xx x x x xg 所以xg在,0单增，又因为00g 故当01x时，00gxg，即0xf； 当0x时， 00gxg ，即 0xf ； （2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数y xf 在 0 xx处各阶导
2、数都存在 且连续， 0 xx是函数的极大值点的一个充要条件为前12n阶导数等于0，第n2阶导数 小于 0。 ） 2 1 2 1ln21 2 x axx xaxxf，00 f 2 2 1 143 1ln22 1 2 1ln21 x aaxx xa x axx xaxxf，00 f 3 2 1 1662 x axaxax xf，由0 xf得 6 1 a 下证：当 6 1 a时，0x是xf的极大值点， 3 1 6 3 1 x xx xf，所以xf 在0 , 1单增，在,0单减 进而有00 fxf，从而xf 在, 1单减， 当0, 1x时，00fxf，当,0x时，00fxf 从而xf在0 , 1单增，
3、在, 0单减，所以0x是xf的极大值点。 （点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就 着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过 1ln xy在2, 1阶的帕德逼近可得 2 612 12 1ln xx x x，且两个函数在0x处两 个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到 6 1 a，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相 应的题目。尝试一难点在于 xf 的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。 引 理1 ： 若yxf与xg xq xp 在 0 xx处
4、函 数 值 和 导 数 值 都 相 同 ， 则 xpxfxqxh在 0 xx处导数为0. 证明：xpxfxqxfxqxh， xq xqxpxqxp xg 2 因为 00 xgxf，且 00 xgxf，代入化简即证：0 0 xh 引理 2：已知函数y xf 在 0 xx处各阶导数都存在且连续， 0 xx是函数的极大值点 的一个充要条件为前12n阶导数等于0，第n2阶导数小于0。 2 1 2 1ln21 2 x axx xaxxf， 令1ln21xaxxm，2 1 2 2 x axx xu 则易得00um，00um，0 0 um， 由引理 1 知，0 0 um等价于0 xf，从而迅速求得 6 1
5、a。 当 6 1 a时，00 4 f 尝试二：若0x是xf的极大值点，注意到00 f， 则存在充分接近于0的， 使得当0 ,x时，0 xf， 当, 0x时，0 xf* 得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。 1 1ln 1 1ln2 2 x x xa x x xxxf 对任意的, 1x，都有01ln2xx，进而有0 1 1ln2 2 x x xx 当,0x时， 1 1ln2 1ln 1 2 x x xx x x x a， 当 0时， 1 1ln2 1ln 1 lim 1 1ln2 1ln 1 lim 2 0 2 0 x x xx x x x x x xx x x x a xx 6 1 46121ln14 1 lim 431ln12 lim 0 22 0 xxxx xxxx x xx 当 0,x 时， 1 1ln2 1ln 1 2 x x xx x x x a， 当 0时， 1 1ln2 1ln 1 lim 1 1ln2 1ln 1 lim 2 0 2 0 x x xx x x x x x xx x x x a xx 6 1 46121ln14 1 lim 431ln12 lim 0 2 2 0 xxxxxxxx x xx 综上： 6 1 a