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1、燕博园 2019 届高三年级综合能力测试（CAT） （二） 理科数学（全国卷） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 |4 ,|01Ux xxAxx，则 UA e（） A1,2)B1,4C1,2D1,4) 2设 0.33 0.3 3 ,0.3 ,log3abc，则, ,a b c的大小关系是（） AcabBbacCcbaDbca 3已知实数,x y满足约束条件 1 3 3 x xy yx ，则2zxy的最小值为（） A6B4C3D1 4方程 2 log20 2 x x 的根所在的一个区间是（） A 1 1
2、, 4 2 B 1 ,1 2 C(1,2) D( 2,2) 5已知双曲线 22 1 16 xy m 的离心率为2，则该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别是（） A 3 , 44 B 2 , 63 C 2 , 33 D 5 , 66 6 8 1 2 x x 的展开式中含 1 2 x的项的系数是（） A 7 8 B 9 4 C 35 8 D 7 4 7 若把函数sin 3 yx的图像向左平移 6 个单位后为奇函数， 则符合题意的一个的值为（） A 1 2 B1 C2 D4 8若某三棱锥的三视图是三个腰长为2 的等腰直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 （） A12B2 3C4D(33)
3、9如图是来自统计局的有关20132017 年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图，下列对 于 2013 2017 年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误 的是（ ） A 2013 年第三产业增加值约为第一产业增加值的5 倍 B第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少 C第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013 年 D第二产业在2017 年的增加值比2015 年的增加值低 10已知 22 :430O xyy，直线:lykx，则“直线l上存在点P使得过点P的O的两条切 线互相垂直”是“ 1k ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充要条件D既不充分也不必
4、要条件 11在生活中，圆柱形管道的连接需要如图1 所示的带斜切口（切口是椭圆形）的圆柱形管道，其制作是 将铁皮裁剪成如图2 所示的一边为正弦曲线形状的铁皮，再将它的两端对接而成若此时正弦型曲线为 2sinyx，则椭圆形切口的面积（椭圆 22 22 1 xy ab 的面积是ab）是（） A B2C5 D2 12已知函数( ) 1 x a f xe x ，若对(,1)x，都有( )33fxx，则a的取值范围是（） AB(,2C3,)D2,) 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知复数为 2 (1i)i ( ,)aba bR，则iab 14数列 n a
5、的前n项和是 n S若2() nn SanN，则 10 S 15已知向量, ,a b c满足,60 ,1,2a bab，且0acb c，则c的最小值是 162006 年菲尔兹奖得主华裔数学家陶哲轩研究并证明了“存在任意长度的素数等差数列”在 1 到 100 之间的素数（2，3，5，7，11，13，17，19， 23，29，31，37，41，43，47， 53，59，61，67，71，73， 79，83，89， 97）中含有项数为n 的等差数列，则n 的最大值是 三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第22、23 题为选考题，
6、考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分 17 （本小题满分12 分） ABC的三个内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 2 sinsincos2bBCcBb （1）若 4 A，求cos B的值； （2）若2a，求ABC面积的最大值 18 （本小题满分12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，2,/,BCADBC E为棱PA的中点，/BE平面PCD （1）求AD的长； （2）若2PBABBCBE，平面PAB平面PBC，求二面角BPCD的大小的取值范围 P B A C D E 19 （本小题满分12 分） 2018 年 6月 25 日，赶集网发布了 2018 年毕业生就业报告 ，2
7、018 年全国高校毕业生人数达到820 万人， 再创近 7 年毕业生人数新高中国高等教育发展实现了从精英教育到大众化，用十年走过了其他国家三十 年、五十年甚至是更长时间的道路 下表是近7年高校毕业人数（精确到十万位）（数据来源：中商产业研究院整理） 年份2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号x1 2 3 4 5 6 7 毕业人数y（百万人）6.8 7.0 7.3 7.5 7.7 8.0 8.2 （1）从表中7 组数据中任选2 组数据，求这两年中毕业生人数超过7.5 百万人的年数的分布列； （2）求y关于x的回归方程（系数保留两位小数）； （3）利用所求回
8、归直线方程分析2012 年至 2018 年全国高校毕业生人数的变化情况，并预测2023 年全国 高校毕业生人数 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() ? ?, () n ii i n i i xxyy baybx xx 20 （本小题满分12 分） 经过抛物线 2 :C ymx的焦点F作斜率分别为 12 ,k k的直线， 分别交抛物线于点ABCD、 、， 直线l经 过抛物线C上的点(1,2)P，且与线段,AB CD分别交于MN、 （1）若 1212 kkk k，求ABCD的最小值； （2）若点M是线段AB的中点， 12 1kk，求证：2ACBDMN 21 （
9、本小题满分12 分）已知函数 31 ( )sin 6 fxaxaxx （1）求证：当0a时，( )f x无极值点； （2）若存在区间(, )(0,)m n，对(, ),( )0xm nf x，求a的取值范围 （二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分） 已知点( 2,0)A，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 cos1，点P为曲线C上的动点 （1）写出点A的极坐标及曲线C的直角坐标方程； （2）当APO为最大值时，求PAO的外接圆的参数方程 23
10、 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分10 分） 已知函数( )2f xxax （1）当1a时，求不等式( )2f x 的解集； （2）是否存在实数a，使得|( )2x f xR？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 燕博园 2019 届高三年级综合能力测试（CAT） （二） 理科数学（全国卷）参考答案 1答案： B 解析： 2 |4 | (4)0|04,|01 ,1,4 U Ux xxx x xxxAxxAe 2 答案：A 解析： 3 0.33 0.30.3 1010001 3(1, 3),0.3,loglog0.31 3273 abc ， 故c a b 3答案： A 解析：作可行域为
11、如图所示的ABC， 其中(1,2),(1, 2),(3,0)ABC， 则0,4,6 ABC zzz， 所以 min 6 C zz 4答案： B 解析： 2 ( )log2 2 x f xx，则 22 111111 log30,log12110 482224 ff ， 2 1 (1)log21210 2 f，所以原方程的根所在的一个区间为 1 ,1 2 5答案： D 解析：双曲线的焦点在 y轴上，离心率2,2 c eca a ，又因为 222 cab，所以 3ba，双曲线的渐近线方程为： 3 3 a yxx b ，所以该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别是 5 , 66 6 答案：D 解析：展开式中
12、含 1 2 x的项为 5 1 53 2 8 17 42 C xx x ， 所以展开式中含 1 2 x的项的系数是 7 4 7答案： C 解析：把函数sin 3 yx 的图像向左平移 6 个单位后得到sin 63 yx sin 63 x ，该函数为奇函数，所以, 63 kkZ，解得62,kkZ，所以符 合题意的一个的值为 2 8答案： A 解析：该三棱锥的直观图如图所示，可将其还原成一个棱长为2 的正方体，三棱锥的外接球 即为正方体的外接球，外接球的直径即为正方体的体对角线，所以22 3,3RR，外接球的表面积 2 412SR x y 1x 3xy 3yx O A B C 9答案： D 解析：第
13、二产业在2017 年的增加值占国内生产总值的比重 比 2015 年的增加值占国内生产总值的比重 低。 10答案： C 解析：O的标准方程为 22 (2)1xy，圆心为(0,2)，半径1r，若过点P的O的 两条切线互相垂直，则圆心与点P的距离为 22r ，所以圆心到直线:lykx的距离 2 2 2 1 d k ，解得 2 1k ，即1k ，所以是充要条件 11答案： C 解析：由题可知，水平截面圆的周长为2，所以水平截面圆的半径为1，即1b，又由 勾股定理可得： 222 (2 )2420,5aa，所以椭圆形切口的面积5Sab 12答案： D 解析：由33 (1) 1 xa exx x ，得 (1
14、)(33) x axxe，设( )(1)(33) (1) x g xxxex， 则( )(33)(1)(3)6(6) xxxx g xxexexx ex e，所以当0x时，( )0,( )gxg x单 调递增，当01x时，( )0,( )g xg x单调递减， 所以当0x时，( )g x取得最大值 max ( )(0)2g xg， 所以2a 13 答案： 13 4 解析： 2 12 iiaab， 所以 2 1 1 2 321 4 a ab a b ， 所以 22 13 i 4 abab 14答案： 1023 512 解析：当1n时， 111 2Saa，解得 1 1a，当2n时，由 11 2,2
15、 nnnn SaSa，两式相减， 得： 1nnn aaa，即 1 1 (2) 2 n n a n a ，所以数列 n a是首项为1，公比为 1 2 的等比数列， 所以 10 109 1 1 11023 2 2 1 2512 1 2 S 解法 2：当1n时， 111 22SaS，解得 1 1S，当2n时，由 1 22() nnnn SaSS， 所以 111 111 1,21(2) 222 nnnnn SSSSS，所以数列2 n S是首项为 1 21S，公比为 1 2 的等比数列，所以 99 1010 111023 2,2 22512 SS 15答案： 73 2 解析：由题意，可设(1 ,0),(
16、1, 3)ab，设( , )cx y， 则 22 (1,) (1,3)(1)30acbcxyxyxyy，即 2 2 33 (1) 24 xy ， 即点( ,)x y在以 3 1, 2 为圆心， 3 2 为半径的圆上，c的最小值为 2 23373 1 222 16答案： 5 解析：5，11， 17，23，29 构成公差为6 的等差数列，5，17，29，41，53 构成公差为12 的等差数列， 都是 5 项 17.解析：（）由正弦定理得， 22 sinsinsincos2sinBCCBB， 所以 22 sin(sincos)2 sinCBBB，即sin2 sinCB，2 分 所以 sin 2 si
17、n C B ，从而 sin 2 sin cC bB ，即2cb3 分 由余弦定理得， 2222222 2cos22abcbcAbbbb，所以ab，4 分 所以 2 coscos 2 BA5 分 （或：由 sin 2 sin C B 得， sin() 2 sin AB B ，即 2 (sincos)2 sin 2 BBB，4 分 所以cossinBB，则 4 B ）5 分 （）由余弦定理得， 2222 4 cos 24 2 acbb B acb ，7 分 从而 222 11 sin21cos128(12) 24 ABC SacBbBb ，9 分 由三角形三边关系得， 22 22 bb bb ，解
18、得2 222 22b 10 分 因此，当2 3b时， ABC S 的最大值为2 212 分 18.解： （）经过点E作/EMAD交PD于点M，连接CM，1 分 因为/BE平面,PCD BE平面BCME，平面PCD平面BCMEMC， 所以/BEMC，又因为/,/EMAD ADBC，3 分 所以/BCME所以四边形BCME是平行四边形.4 分 所以BCEM又因为 1 2 EMAD，所以24ADBC5 分 （）因为2PAABBE，E为棱PA的中点，所以APBE，且 4 ABE，所以ABBP. 又因为平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBCPB，所以AB平面PBC 6 分 又因为BC平面PBC，所以
19、ABBC. 以点B为原点，分别以,BA BC所在直线为x轴，y轴，以经 过点B且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示. 则(0,2,0),(2,4,0)CD， ， ( 2 , 0 )CD. 由题意可设， 22 (0, ),4,( 2,2),0Pm nmnmn，7 分 所以(0,2, )CPmn，设平面CDP的法向量为 1 ( , , )nx y z， 则 (2)0, 220. mynz xy 令yn，可得2,zm xn，所以 1 (, ,2)nn nm 9 分 平面BCP的法向量为 22 2 (1,0,0),4,( 2,2),0nmnmn 可得 22 12 22 222
20、22 44 cos, 412412 2(2)44 nn mm n n mmmm nmmnnm (2)(2)24 1,( 2,2) (6)(2)66 mmm m mmmm 11 分 所以 12 2 cos,0, 2 n n ，所以二面角BPCD的大小的取值范围为 3 , 24 12 分 P B A C D E x y z P B A C D E M 19解：（）可能的取值为0，1，2，1 分 1122 4334 222 777 241 (0),(1),(2) 777 C CCC PPP CCC ，3 分 则的分布列为：4分 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 （） 6.87.07.37.57
21、.78.08.2 4,7.5 7 xy，5 分 7 1 ()()(14)(6.87.5)(24)(7.07.5)(34)(7.37.5)(44)(7.57.5) (54)(7.77.5)(64)(8.07.5)(74)(8.27.5)6.6 ii i xxyy 7 分 7 2 1 ()941 14928 i i xx ，8 分 所以 1 2 1 ()() ? ?0.24,7.50.2446.54 () n ii i n i i xxyy baybx xx ， 则y关于x的回归直线方程是?0.246.54yx；9 分 （）因为 ? 0.240b， 所以 2012 2018 年全国高校毕业生人数逐
22、年增加，平均每年大约增加24万人， 11 分 将 2023 年的年份代号12x代入回归方程得9.42y， 可预测 2023 年全国高校毕业生人数大约是942 万人 .12 分 20解：（）点(1,2)P在抛物线 2 :C ymx上，所以4m.1 分 由题意可设直线AB为 11122 (1),(,),(,)yk xA x yB xy 设直线CD为 23344 (1),(,),(,)ykxC xyD xy 将 1( 1)yk x代入方程 2 4yx，得 2 11 440k yyk可得0， 12 12122 1111 44 ,112 yy yyxx kkkk 3 分 同理可得 34 2 2 1 2x
23、x k . 4 分 若 1212 kkkk，则 12 11 1 kk ， 则 1234 2222 1212 4411 4848ABCDxxxx kkkk ，5 分 由基本不等式 2 222222 1212121212 11111111111 22, 2kkkkkkkkkk 当且仅当 12 2kk时等号成立， 所以ABCD的最小值为106 分 （）由题意可知直线l不与x轴垂直，设直线l为2(1)yk x， 由（）可知， 12 1 4 yy k ，同理可得 34 2 4 yy k . 12 122 111 4 112 yy xx kkk ， 所以线段AB的中点 2 11 22 1,M kk ，代入
24、直线l的方程2(1)yk x，8 分 得 2 11 kkk，联立直线l与CD的方程得 2 2(1) (1) yk x ykx ， 可得点N的纵坐标 2 2 2 N k y kk ，又因为 21 1kk， 所以 21 22 21111112 22(1)22 (1)1 N kk y kkkkkkkk ， 10 分 所以 34 2 N yyy，点N是线段CD的中点，取AD的中点Q， 连接,MQNQ，则 2BDMQ ， 2ACNQ ， 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2468 Q N P M D C B A F 因为MQNQMN，所以2ACBDMN12 分 21证明：（1）证明：在(,)上，(
25、)( )fxf x，所以( )fx是奇函数.1 分 21 ( )(cos1) 2 fxaaxx，当0a 时，( )0fx ， 所以函数( )f x在0,)上是单调增函数，3 分 又( )f x是奇函数，所以函数( )f x在(,)上单调递增， 所以当0a 时，( )f x无极值点；4 分 （）由（）可知当0a 时，函数( )fx在0,)上是单调增函数，(0)0f，当0,)x时， ( )0f x ，不符合题意； 当(0,1a时， 33 (0,1,cos1aaax5 分 设 21 ( )( )(cos1) 2 g xfxaaxx，则 2 ( )sing xxaax， 设 2 ( )( )sinh
26、xg xxaax，则 3 ( )1cos0h xaax， 所以( )h x在(,)上单调递增又因为(0)0h，所以在0,)上，( )0h x ，即( )0gx ， 所以( )g x在(0,)上单调递增又因为(0)0g，所以在0,)上，( )0g x ，即( )0fx ， 所以函数( )f x在0,)上是单调增函数， (0)0f，当0,)x时，( )0f x ，不符合题意；7 分 当1a时， 3 1 (0,1) a ， 由 3 ( )1cos0h xaax可得 3 1 cosax a ， 所以存在 0 0, 2 x a ，使 0 ()0h x8 分 x 0 (0,)x 0 x 0, 2 x a ( )h x 0 ( )h x极小 又因为(0)0h，所以当 0 (0,)xx时，( )0h x，即( )0gx， 所以函数( )g x在 0 (0,)x上是单调减函数，又因为(0)0g，10 分