《函数的单调性与最值.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的单调性与最值.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、函数的单调性与最值 最新考纲考情考向分析 1.理解函数的单调性、最大(小)值 及其几何意义 . 2.会运用基本初等函数的图象分 析函数的性质 . 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单 调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与 方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考 查，题型既有选择、填空题，又有解答题. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 在函数 f(x)的定义域内的一个区间A 上，如果对于任意两数x1，x2A 当 x1f(x2)，那么， 就称函数f(x)在区间 A 上是减少的 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义
2、如果函数y f(x)在区间 A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间 . 2.函数的最值 前提函数 yf(x)的定义域为D 条件 (1)存在 x0D，使得 f(x0)M； (2)对于任意x D，都有 f(x)M. (3)存在 x0 D，使得 f(x0)M； (4)对于任意xD，都有 f(x)M. 结论M 为最大值M 为最小值 概念方法微思考 1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 提示对任意 x1，x2D， f x1f x2 x1x2 0? f(x)在 D 上是增函数，减函数类似. 2.写出对勾函数yx a x (a0)的递增区间 . 提示(，a和a， ). 题组一思考辨析
3、1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R 上的函数f(x)，有 f(1)2a， 解得 1a0， 得函数的定义域为，1 2 (1， ). 令 t2x2 3x1， x ， 1 2 (1， ). 则 y 1 2 logt， t 2x23x12 x 3 4 21 8， t 2x 23x1 的递增区间为 (1， ). 又 y 1 2 logt在(1， )上是减函数， 函数 y 1 2 log(2x 23x1)的递减区间为 (1， ). (2)设函数 f(x) 1，x0， 0，x0， 1，x1， 0，x1， x2，x0,20， 从而 f(x2)f(x1)0， 即 f(x2)f(
4、x1)， 故当 a(1,3)时， f(x)在1,2上是增加的 . 引申探究 如何用导数法求解本例？ 解f(x)2ax 1 x 2 2ax 31 x 2 ， 因为 1x2， 所以 1x38，又 10，所以 f(x)0， 所以函数f(x)ax21 x(其中 10，即 a1，因此 g(x)的递减区间就是y|x2| 的递减区间 (， 2. (3)函数 f(x)|x 2|x 的递减区间是. 答案1,2 解析f(x) x 22x，x 2， x22x，xx11 时，f(x2)f(x1) (x2 x1)abB.cba C.acbD.bac 答案D 解析根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x1 对称，且在 (
5、1， )上是减函数，因为a f 1 2 f 5 2 ，且 2ac. 命题点 2解函数不等式 例 4已知函数f(x)ln x 2x，若 f(x24)1， 若 f(x)在(0， )上是增加的， 则实数 a 的取值范围 为. 答案(1,2 解析由题意，得121 2a20，则 a 2，又 ya xa (x1)是增函数，故 a1，所以 a 的 取值范围为10 恒成立 .当 a0 时，g(x) x 在 (0,1)上是增加的且g(x)0，符合题意； 当 a0 时，g(x) 图像的对称轴为x 1 2a0，所以g(x)在(0,1)上是增加的，符合题意；当a0，解得 a 1 2，则 1 2a0 成立，那么a 的取
6、值范围是. 答案 3 2，2 解析对任意 x1x2，都有 f x1f x2 x1x2 0， 所以 yf(x)在( ， )上是增函数 . 所以 2a0， a1， 2a 11a， 解得 3 2a0 的解集为. 答案 x 0f 1 2 或 1 9 (log)fxf 1 2 ， 1 9 logx1 2或 1 20，得 2 f(3)f(2) B.f( ) f(2)f(3) C.f( ) f(3)f(2)， 即 f( ) f( 3)f(2). 4.已知函数f(x) 12a x，x1， logax 1 3，x1， 当 x1x2时， f x1f x2 x1x2 1， 00， 若 f(0)是 f(x)的最小值，
7、则a 的取值范围为 () A. 1,2B.1,0 C.1,2D.0,2 答案D 解析 当 x0 时，f(x) (x a) 2，f(0)是 f(x)的最小值， a0.当 x0 时， f(x)x1 x a2 a，当且仅当x1 时取 “”. 要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需2af(0) a 2，即 a2a 20，解得 1 a2. a 的取值范围是0a2.故选 D. 6.已知定义在R 上的奇函数f(x)在0， )上是减少的，若f(x 22xa)x1 对任意的 x1,2恒成立，等价于ax23x1 对任意的 x1,2 恒成立 .设 g(x) x23x1(1 x2)，则 g(x) x3 2 213
8、4 (1x2)，当 x 3 2时， g(x)取得最大值，且g(x)max g 3 2 13 4 ，因此 a13 4 ，故选 D. 7.已知奇函数f(x)在 R 上是增函数 .若 a f log21 5 ， bf(log24.1)，cf(20.8)，则 a，b，c 的 大小关系为. 答案abc 解析 f(x)在 R 上是奇函数， a f log21 5 f log21 5 f(log25). 又 f(x)在 R 上是增函数， 且 log25log24.1log2422 0.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc. 8.如果函数f(x)ax 22x3 在区间 (， 4)上
9、是增加的，则实数 a 的取值范围是. 答案 1 4，0 解析当 a 0时， f(x)2x3 在定义域 R 上是增加的，故在(，4)上是增加的；当a0 时，二次函数f(x)的对称轴为x 1 a，因为 f(x)在(，4)上是增加的， 所以 ab， 若 f(x)min x2,10x( x 0)，则 f(x)的最大值为. 答案6 解析由题意知， f(x) x2，0x4， 10x，x4， 易知 f(x)max f(4) 6. 10.设函数 f(x) x 2 4x，x 4， log2x，x4. 若函数 yf(x)在区间 (a， a1)上是增加的，则实数a 的 取值范围是. 答案(， 14， ) 解析作函数
10、 f(x)的图像如图所示， 由图像可知f(x)在(a，a 1)上是增加的，需满足a4 或 a12， 即 a1 或 a4. 11.已知 f(x) x xa(xa). (1)若 a 2，试证 f(x)在(， 2)上是增加的； (2)若 a0 且 f(x)在(1， )上是减少的，求a 的取值范围 . (1)证明当 a 2 时， f(x) x x2. 设 x10，x1 x20， x2 x10， 所以要使f(x1)f(x2)0， 只需 (x1a)(x2a)0 恒成立， 所以 a1.综上所述， 00， f x ， x0 且方程 ax 2bx10 中 b24a(a 1)24a(a1)20， a 1. 从而
11、f(x)x22x 1. F(x) x1 2，x0， x1 2，x0， 若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是() A.( ， 1)(2， ) B.(， 2)(1， ) C.( 1,2) D.( 2,1) 答案D 解析 当 x0 时，两个表达式对应的函数值都为0， 函数的图像是一条连续的曲线.又当 x0 时， 函数 f(x)x3为增函数， 当 x0 时， f(x)ln(x 1)也是增函数， 函数 f(x)是定义在 R 上的增函数 .因此， 不等式 f(2x2)f(x)等价于 2x2x， 即 x2 x20， 不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a 的取值范围是. 答
12、案(， 2) 解析二次函数y1x 24x3 的对称轴是 x2， 该函数在 (， 0上是减少的， x24x33，同样可知函数y2 x22x 3在 (0， )上是减少的， x22x 3f(2a x)得到 xa2 的解集 为. 答案 1 4， 解析由题意知， f(x)f(x)2， f(2x 1)f(2x)2 可化为 f(2x1)f( 2x)，又由题意知 函数 f(x)在 R 上是增加的，2x12x，x1 4， 原不等式的解集为 1 4， . 16.已知定义在区间(0， )上的函数f(x)是增函数， f(1)0，f(3)1. (1)解不等式00， 1x 2 13， 得2x2 或 2x2. 原不等式的解集为(2，2)(2， 2). (2) 函数 f(x)在(0,3上是增函数， f(x)在(0,3上的最大值为f(3)1， 不等式 f(x)m 22am1 对所有 x(0,3，a1，1恒成立转化为 1m2 2am1 对所 有 a1,1恒成立，即m 22am0 对所有 a1,1恒成立 . 设 g(a) 2mam2，a1,1， 需满足 g 1 0， g 1 0， 即 2mm 2 0， 2mm20， 解该不等式组，得m 2 或 m2 或 m0， 即实数 m 的取值范围为 (， 20 2， ).