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1、- 1 - 初 高 中 数 学 衔 接 教 材 现有初高中数学知识存在以下“ 脱节 ” 1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解， 对系数不为 “ 1”的涉及不多 ,而且 对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、 不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的 重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研
2、究 闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作 要求， 此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等 式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、 下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视 为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念
3、（如重心、 垂心等） 和定理 （如平行线分线段比例定理，射影定理， 相交弦定理等、弦切角定理）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 目录 第一章：数与式的运算和因式分解P2 P15 1.1 数与式的运算 P2P8 1.1.1 绝对值1.1.2. 乘法公式1.1.3二次根式1.1.4.分式 1.2 分解因式 P9P15 第二章：方程、函数、方程组、不等式组P16 P43 2.1 一元二次方程 P16P24 2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2.2 二次函数 P25P34 2.2.1 二次函数y
4、ax 2bxc 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 - 2 - 2.3 方程组不等式 P35P43 2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法 第三章：相似性、圆P44 P69 3.1 相似形 P44P53 3.1.1平行线分线段成比例定理3.1.2 相似形 3.2 三角形 P54P62 3.2.1 三角形的 “ 四心 ” 3.2.2 几种特殊的三角形 3.3 圆 P63P69 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 点的轨迹 1.1 数与式的运算 1. .1 绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对
5、值是它的相反数，零的绝对 值仍是零。即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 或 ）（ ）（ 0aa 0aa a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。 两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离。 例 1 解不等式：13xx4。 解法一 ： 由01x， 得1x； 由30x， 得3x； 若1x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4，解得 x0， 又 x1， x0； 若2x1，不等式可变为(1)(3)4xx， 即 14， 不存在满足条件的x； 若3x，不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x 4， 解得 x4。 又 x3
6、， x4。 1 3 A B x 0 4 C D x P |x1| |x3| 图 111 - 3 - 综上所述，原不等式的解为x0，或 x4。 解法二： 如图 111，1x表示 x 轴上坐标为x 的点 P 到坐标为1 的点 A 之间的距离 |PA|， 即|PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为2 的点 B 之间的距离 |PB|，即 |PB|x3|。 所以，不等式 13xx 4 的几何意义即为|PA|PB|4。 由|AB|2，可知点P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点 D(坐标为 4)的右侧。 x0，或 x4。 练习 1填空：（1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_。
7、（2）如果5ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_。 2选择题：下列叙述正确的是（） （A）若ab，则ab（B）若ab，则ab （C）若ab，则ab（D）若ab，则ab 3化简： |x5|2x13|（6x5） 。 1.1.2. 乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab； （2）完全平方公式 222 ()2abaabb。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 ()()ab aabbab； （2）立方差公式 2233 ()()ab aabbab； （3）三数和平方公式 2222 ()2()abcabcab
8、bcac； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa babb； （5）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 例 1 计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx。 解法一： 原式 = 2222 (1) (1)xxx= 242 (1)(1)xxx= 6 1x。 解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx= 33 (1)(1)xx= 6 1x。 - 4 - 例 2 已知4abc，4abbcac，求 222 abc的值。 解： 2222 ()2()8abcabcabbcac。 练习 1填空： （
9、1） 22 1111 () 9423 abba（） ； （2）(4m 22 )164(mm )；(3) 2222 (2)4(abcabc)。 2选择题：（1）若 21 2 xmxk是一个完全平方式，则k等于（） （A） 2 m（ B） 2 1 4 m（C） 2 1 3 m（D） 2 1 16 m （2）不论a，b为何实数， 22 248abab的值（） （A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是 负数 1.1.3 二次根式 一般地，形如(0)a a的代数式叫做二次根式。根号下含有字母、且不能够开得尽 方 的 式 子 称 为 无 理 式 。例 如 2 32aabb， 22
10、 ab等 是 无 理 式 ， 而 2 2 21 2 xx， 22 2xxyy， 2 a等是有理式。 1.分母（子）有理化：把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化。 为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念。两个含有二次根式的代数式 相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与 2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2， 等等。一般地，ax 与x，axby与axby，a xb与a xb互为有理化因式。 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程； 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化
11、去分子中的根号的过程。 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运 用公式(0,0)abab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然 后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上 去括号与合并同类二次根式。 - 5 - 2二次根式 2 a的意义 2 aa ,0, ,0. aa a a 例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2） 2 (0)a b a；（ 3） 6 4(0)x y x。 解： （1）122 3bb；（2） 2 (0)a baba b a； （ 3） 633 422(0)x yxyxy x
12、。 例 2计算：3(33)。 解法一： 3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3(31) 6 31 2 。 解法二： 3(33) 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 。 例 3 试比较下列各组数的大小： （1）1211和1110；（2） 2 64 和2 26。 解： （1） 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 ， 又12111110，12111110。 （2） 2 26(2 26)(226)2 2 26, 12 26
13、2 26 + + 又 422，646 2 2， 2 64 2 26。 例 4化简： 20042005 ( 32)( 32)。 解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32)32。 - 6 - 例 5 化简： （1）94 5；（ 2） 2 2 1 2(01)xx x 。 解： （1）原式 54 54 22 ( 5)2252 2 (25)2552。 （2）原式 = 2 1 ()x x 1 x x ，01x， 1 1x x ，所以，原式 1 x x 。 例 6 已知 3232 , 32
14、32 xy ，求 22 353xxyy的值。 解： 223232 ( 32)( 32)10 3232 xy ， 3232 1 3232 xy ， 2222 3533()113 1011289xxyyxyxy。 练习1填空： （1） 13 13 _ _； （3）4 246 543 962 150_ _； （2）若 2 (5)(3)(3) 5xxxx，则x的取值范围是_ _ _； （4）若 5 2 x，则 1111 1111 xxxx xxxx _ _。 2选择题：等式 2 2 xx x x 成立的条件是（） （A）2x（B）0x（C）2x（D）02x 3若 22 11 1 aa b a ，求ab
15、的值。 - 7 - 4比较大小：23 54（填 “ ” ，或 “ ” ） 。 1.1. 分式 1分式的意义：形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B，则称 A B 为分式 。 当 M0 时，分式 A B 具有下列基本性质： AAM BBM ； AAM BBM 。 2繁分式：像 a b cd ， 2 mnp m np 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。 例 1若 54 (2)2 xAB x xxx ，求常数,A B的值。 解： (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x ， 5, 24, AB A 解得 3 2 B A 。 例 2
16、 （1） 试证： 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数）；（2） 计算： 111 12239 10 ； （3）证明：对任意大于1 的正整数 n， 有 1111 2334(1)2n n 。 （1）证明： 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n ， 111 (1)1n nnn （其中 n 是正整数） 成立。 （2）解：由（ 1）可知 111 122 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 。 （3）证明： 111 2334(1)n n 111111 ()()() 23341nn 11 21n ， 又 n2 ，且 n 是正整数， 1 n
17、 1 一定为正数， 111 233 4(1)n n 1 2 。 - 8 - 例 3.设 c e a ，且 e1，2c 25ac2a20，求 e 的值。 解： 在 2c2 5ac2a20 两边同除以a2，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e1 2 1，舍去；或e2。 e2。 练 习 1填空题：对任意的正整数n， 1 (2)n n ( 11 2nn )； 2选择题：若 22 3 xy xy ，则 x y （） （ A）（B） 5 4 （C） 4 5 （D） 6 5 3正数, x y满足 22 2xyxy，求 xy xy 的值。 4计算 1111 . 1 2233499 100 。 习题
18、 1 1A 组 1解不等式：(1) 13x；(2) 327xx； (3) 116xx。 - 9 - .已知1xy，求 33 3xyxy的值。 3填空：（1） 1819 (23) (23)_； （ 2）若 22 (1)(1)2aa ，则a的取值范围是_； （ 3） 11111 1223344556 _。 B 组1填空：（1） 1 2 a， 1 3 b，则 2 22 3 352 aab aabb _ _； （ 2）若 22 20xxyy，则 22 22 3xxyy xy _ _； 2已知： 11 , 23 xy，求 yy xyxy 的值。 C 组 1选择题： （1）若2ababba，则（） （A）
19、ab（ B）ab（C）0ba（D）0ab （2）计算 1 a a 等于（） （A）a（B）a（C）a（D）a - 10 - 2解方程 2 2 11 2()3()10xx xx 。 3计算： 1111 1 3243 59 11 。 4试证：对任意的正整数n，有 111 1 2323 4(1)(2)n nn 1 4 。 - 11 - 参考答案 1.1.1绝对值 1 （1）5；4（2）4；1或32D 33x18 1.1.2乘法公式1 （1） 11 32 ab（2） 1 1 , 2 4 （3）424abacbc2 （1）D （2） A 1.1.3二次根式1 （1）32（2）3 5x （3）8 6（ 4）5。2C 31 4 1.1.4分式1 1 2 2B 3214 99 100 习题 1 1 A 组 1 （1）2x或4x（ 2） 4x3 （3）x 3，或 x3 21 3 （1）23（2）11a（3）61 B 组 1 （1） 3 7 （2） 5 2 ，或 1 5 24。 C 组 1 （1）C （2）C 2 12 1 ,2 2 xx 3 36 55 4提示： 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn