南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线.pdf

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1、专题 12：圆锥曲线 问题归类篇 类型一：方程的标准形式 一、前测回顾 1椭圆 x 2 m y 2 4 1 的焦距是2，则 m 的值是 2.双曲线 x 2 4 y 2 k 1 的离心率e(1， 2)，则 k 的取值范围是 3.若 a0 ，则抛物线y4ax 2 的焦点坐标为 答案： 1.3 或 5；2.(12,0)；3.(0, 1 16a) 二、方法联想 方程的标准形式 涉及方程标准形式时，必须先设 (或化 )为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论 )焦点在哪轴 上，抛物线要注意开口方向 三、归类巩固 *1.以 y2x 为渐近线的双曲线的离心率是 答案： 3或 6 2 (已知双曲线的渐近

2、线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线y24x 的焦点为焦点，以 y x 为渐近线的双曲线的标准方程为 答案： x 2 1 2 y 2 1 2 1 ( 已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系) 类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用 一、 前测回顾 1. 已知 F1、F2是椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的两个焦点，P为椭圆 C 上一点，且PF1PF2 若 PF1F2的面积为9，则 b 的值为 _ 2.已知定点A(3，2)，F 是抛物线y 22x 的焦点，点 P 是抛物线上的动点，当PAPF 最小时，点P 的坐标 为 3. 点 F 为椭圆 x

3、2 4 y 2 3 1 的右焦点，过点F 且倾斜角为 3的直线交椭圆于 A,B 两点 (AF0，b0）的右顶点为A，以 A 为圆心， b 为半径作圆A，圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点 .若 MAN=60 ，则 C的离心率为. 答案 : 2 3 3 （已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线 x 2 4 y 2 k 1 的离心率e(1，2)，则 k 的取值范围是 答案：(0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围) *4设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案： (1，2)(考查圆、双

4、曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题) *5设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心 率的取值范围为 答案： (1，2)(考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题) *6 已知O 为坐标原点， F 是椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右顶点 P 为 C 上一点，且PF x 轴，过点A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点E若直线BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为 答案： 1 3 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *7. 已知中

5、心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F1， F2，这两条曲线在第一象限 的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若PF110，椭圆和双曲线的离心率分别是e1， e2， 则 e1e2的取值范围是 答案： (1 3, )(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围 ) *8 . 设 ABC 是等腰三角形，ABC120 ，则以 A，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为_ 答案： 31 2 (三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围) 类型四：直线与圆锥曲线的综合问题 一、 前测回顾 1(1)点 A 是椭圆 x 2 36 y 2 201 的左顶点， 点 F 是右

6、焦点， 若点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， 满足 P APF， 则点 P 的坐标为 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 x 2 4 y 2 3 1 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大 值为 答案： (1)( 3 2， 5 2 3)(2)6 2(1)如图 ，椭圆 C：x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的上 、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点 P 在椭圆 C 上 ，且 OPAF， 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍 ，则椭圆 C 的离心率为 (2)已知椭圆的方程为 x 2 6 y 2 2 1，与右焦点F

7、相应的准线l 与 x 轴相交于点A，过 点 A 的直线与椭圆相交于P、Q 两点设 AP AQ ( 1)，过点 P 且平行于准线l 的直线与椭圆相 交于另一点M， 证明： FM QF (3) 过点 M(1，1)作斜率为 1 2的直线与椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _ 答案： (1) 2 2 ；(2)略； (3) 2 2 3(1)设 P， Q 分别为圆x2(y6)22 和椭圆 x 2 10y 21 上的点，则 P， Q 两点间的最大距离是 (2)已知椭圆C： x 2 2y24，O 为原点若点 A 在直

8、线 y 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，则线 段 AB 长度的最小值为 答案： （1）6 2； （2）2 2 二、方法联想 1椭圆上一个点问题 方法 1：设点 . 设点 (x0,y0)代入方程、列式、消元；设点 (acos ,bsin ) 方法 2：求点 . 代入方程、列式、求解 注意考虑 x0(或 y0)的取值范围 变式：如图 ，椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的上 、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F， 点 P 在椭圆 C 上，且 OPAF. 求证：存在椭圆C，使直线 AF 平分线段 OP. 答案：略 ( 已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有

9、解进行证明) 2直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 方法 1设两点 A(x1，y1)、 B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax 2Bx C 0，由韦达定理得x1x2 B A，x1x2 C A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2通过直线方 程化为 x1，x2) 有时也可以直接求出两交点 . 注意： (1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况； (2)通过判断交点个数； (3)根据需要也可消去x 得关于 y 的方程 结论：弦长公式AB1k 2x 1x2

10、1 1 k2y1y2 方法 2设两点 A(x1，y1)、 B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x1 2 a 2y 1 2 b 21， x2 2 a 2y 2 2 b 21， 通过已知条件建立x1、y1与 x2、 y2的关系，消去 x2、y2解关于 x1、y1的方程组（或方程） 方法 3 点差法 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得 x1 2 a 2 y1 2 b 21， x2 2 a 2 y2 2 b 21， 两式相减得 y1y2 x1x2 b 2 a 2 x1x2 y1y2， 即 kAB b 2 a 2 x0 y0，其中 AB 中点 M 为(x0，y0) 注意：点差法一般

11、仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题 3. 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数 )的取值范围问题，常用参数方 程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义 )化为函数进行处理 (2)由直线 (系)和圆锥曲线 (系)的位置关系， 求直线或圆锥曲线中某个参数(系数 )的范围问题， 常把所求 参数作为函数，另一个元作为自变量求解 三、归类巩固 *1.由椭圆 x 2 2 y21 的左焦点作倾斜角为45 的直线 l 交椭圆于A、B 两点则 OA OB 答案： 1 3 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积) 2

12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 2 2 ，长轴长为4.过椭圆 的左顶点 A 作直线 l，分别交椭圆和圆x2y2a2于相异两点P，Q. * 若直线 l 的斜率为 1 2，求 AP AQ 的值； * 若 PQ AP ，求实数 的取值范围 答案： 5 6；（ 0,1） ( 已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点) *3. 设椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x轴垂直的直线被椭圆截得的 线段长为 43 3 .设 A， B分别为椭圆的左、 右顶点，过点

13、 F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C， D 两点 若 AC DB AD CB 8，求 k 的值 答案： 8 6 3 . ( 已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率) *4. 已知椭圆C： x 2 6 y 2 2 1 设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x 3 上任意一点，过F 作 TF 的垂线 交椭圆 C 于点 P，Q. 证明： OT 平分线段PQ(其中 O 为坐标原点 )； 当 |TF| |PQ|最小时，求点 T 的坐标 答案： T点的坐标是 (3，1)或(3， 1) (求取最值时的条件) 综合应用篇 一、例题分析 例 1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C

14、： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭 圆上一点（在x 轴上方），连结 PF1并延长交椭圆于另一点Q，设 PF1 F1Q * （1）若点 P 的坐标为(1， 3 2)，且 PQF 2的周长为 8，求椭圆C 的方程； * （2）若 PF2垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e 1 2， 2 2 ，求实数 的取值范围 解： （1）因为 F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点， 所以 PF1PF2QF 1QF2 2a，从而 PQF2的周长为 4a 由题意，得4a8，解得 a2 因为点 P 的坐标为(1， 3 2)，所以 1 a 2 9 4

15、b 21， 解得 b 23 所以椭圆C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1 （2） 方法一： 因为 PF2 x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设P(c，y0)，y00设 Q(x1，y1) （第 18 题） x O y P F1 F2 Q 因为 P 在椭圆上，所以 c 2 a 2 y 2 0 b 21，解得 y0 b 2 a ，即 P(c，b 2 a ). 因为 F1(c，0)，所以 PF1 (2c， b 2 a )，F1Q (x1c，y1) 由PF1 F1Q ，得 2c (x1c)， b 2 a y1， 解得 x1 2 c，y1 b 2 a，所以 Q( 2 c， b 2 a). 因为点 Q

16、在椭圆上，所以( 2 ) 2e2b 2 2a21， 即( 2)2e2(1 e 2)2，(24 3)e221， 因为 10， 所以 ( 3)e2 1，从而 3e 21 1e 2 4 1e 23 因为 e 1 2， 2 2 ，所以 1 4e 21 2，即 7 3 5 所以 的取值范围为 7 3，5 方法二： 因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设P(c，y0)，y00 因为 P 在椭圆上，所以 c 2 a 2 y 2 0 b 21，解得 y0 b 2 a ，即 P(c，b 2 a) 因为 F1(c，0)，故直线 PF1的方程为 y b 2 2ac(xc) 由 y b 2 2ac(xc)，

17、 x 2 a 2 y 2 b 21， 得 (4c2 b2)x22b2cxc2(b24a2)0 因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，b 2 a )设 Q(x1，y1)， 则 x1c 2b 2 c 4c 2b2，即 cx1 2b 2c 4c 2 b2 因为 PF1 F1Q ， 所以 2c cx1 4c 2b2 b 2 3c 2a2 a 2c2 3e 21 1 e 2 4 1 e 23 因为 e 1 2， 2 2 ，所以 1 4e 21 2，即 7 3 5 所以 的取值范围为 7 3，5 教学建议 （ 1）问题归类与方法： 本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围. 求椭

18、圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，题中给出的是关于基本量a，b，c 的齐次不等关系； 题中给出的是关于基本量a，b，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f(P)g(a，b，c)，根据 g(a， b，c)在 f(P)的值域内，可得关于基本量a，b，c 的齐次不等关系 （ 2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P 点 坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用 表示离心率e，解不等式求出 的范围 . 例 2.已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左焦点为 F(c，0)，右顶点为A，点 E 的坐标为 (0，c)

19、， EFA 的面积 为 b 2 2 . *（1）求椭圆的离心率； （2）设点 Q 在线段 AE 上， | FQ| 3 2c，延长线段 FQ 与椭圆交于点P，点 M，N 在 x 轴上， PMQN，且 直线 PM 与直线 QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c. * （i）求直线FP 的斜率； * （ ii）求椭圆的方程. 解：( 1) 设椭圆的离心率为e. 由已知，可得 1 2( ca)c b2 2 . 又由b2a2c2，可得 2c2aca20，即 2e2 e 10.又因为 0e 1，解得e 1 2. 所以，椭圆的离心率为 1 2. （2） （） 方法一 ：依题意，设直线FP的方程为x

20、myc(m 0) ，则直线FP的斜率为 1 m . 由（）知a2c，可得直线AE的方程为 x 2c y c 1，即 x 2y2c0，与直线FP的方程联立，可解得x ( 2m2)c m2 ，y 3c m2，即点 Q的坐标为 ( ( 2m2)c m2 ， 3c m2 ). 由已知 |FQ|= 3c 2 ，有 ( 2m2)c m2 c 2(3c m2) 2(3c 2 ) 2，整理得 3m 24m 0，所以m 4 3，即直线 FP的 斜率为 3 4. 方法二 ：由（）知a2c，可得直线AE的方程为 x 2c y c1，即 x2y2c0，又 | FQ| 3 2c 设 Q(x0，y0) ，则 x02y02

21、c0 (x0c) 2y 0 29 4c 2消 y0得 5x 2 04cx0c 20， x 0 c（舍）或 c 5 ，所以 Q(c 5， 9 10 c) ，直线FP的斜率为 3 4. （ii） 方法一： 由（ i）得直线FP 的方程为3x4y3c0 ，与椭圆 x 2 4c 2 y 2 3c 21 联立得 7x 26cx13c2 0，x 13 7 c （舍）或c ，所以 P(c， 3 2 c) 由（ i）得 Q(c 5， 9 10c)，由题直线 QN,直线 PM 的斜率一定存在， 设为 k0, 设 PM：k0xy k0c 3 2c0 ，QN：k 0xy k0 5 c 9 10c 0，两平行线距离为

22、 | k0c 3 2c k0c 5 9 10c| k0 21 c ，解得 k0 4 3 ，所以 M(17 8 c，0)，N(7 8c，0) ，四边形 PQNM 的面积为 SPFMSFQN 1 2( 17 8 cc) 3 2c 1 2 (7 8cc) 9 10c3c ，解得 c2 ，所以椭圆的方程为 x 2 16 y 2 121 . 方法二： 同方法一求出k0 4 3，所以 FPQN，FPPM , 又 P(c， 3 2c)， Q( c 5， 9 10c)，直线 FP的斜率为 3 4. 即 tanPFM 3 4 ， | FQ| 3 2c， | FP| 5 2c ， 所以四边形PQNM 的面积为 1

23、 2(QNPM) c 1 2( 3 4 3 2c 3 4 5 2c) c 3c ，解得 c2 ，所以椭圆的方程为 x 2 16 y 2 121 . 方法三： 可利用 | FQ| 3 2c，| FP| 5 2c 得 FP FQc 即直线 PM 与直线 QN 间的距离，直接得 FPQN， FPPM，避免求k0的值简化运算过程 . 教学建议 （ 1）问题归类与方法： 1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a，b， c的一个齐次关系，从而求出离心率； 2直线与椭圆相交于两点问题 已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根； 两点均未知 方法 1

24、设两点 A(x1，y1)、 B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax 2Bx C 0，由韦达定理得x1x2 B A，x1x2 C A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2通过直线方 程化为 x1，x2) 有时也可以直接求出两交点 . （ 2）方法选择与优化： 本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类 题目， 利用a,b,c,e 错误！ 未找到引用源。 的关系， 确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆 锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过

25、程逐步发 现四边形PQNM的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大. 二、反馈巩固 *1已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线l 交 C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 答案： x 2 3 y 2 2 1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *2.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2y21 右支上的一个动点 若点 P 到直线 x y10 的距离 大于 c 恒成立，则实数c 的最大值为 _ 答案： 2 2 (利用双曲线与渐近线的几何性质求解) x y O A

26、 P B *3如图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的右焦点，直线 yb 2与椭圆交于 B,C 两点，且 BFC90 ,则该椭圆的离心率是 . 答案 : 6 3 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4已知方程 x 2 m 2+n y 2 3m 2 n=1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 . 答案： ( 1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质) *5椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1的左右顶点分别为A1，A2，点 P在C上且直线 PA2斜率的取值范围为2， 1，那么 直线 PA1的斜率的取值范围

27、是 答案： 3 8， 3 4 (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域) *6 设 F1，F2分别是椭圆 E：x2 y 2 b 21(0b1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点 若 AF13F1B，AF2x 轴，则椭圆E 的方程为 _ 答案： x23 2y 21 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系) *7 点 M 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上的点，以 M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆 M 与 y 轴 相交于 P，Q，若 PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 答案： (0， 62 2 ) (考查直线

28、与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) *8 如图，点A 是椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的下顶点 过 A 作斜率为1 的直线交椭圆于另一点P，点 B 在 y 轴上， 且 BPx 轴， AB AP 9，若 B 点坐标为 (0，1)，则椭圆 方程是 答案： x 2 12 y 2 4 1 (考查平面图形的几何性质，求椭圆方程，向量的数量积运算) *9 已知椭圆 x 2 4 y 2 2 1 上有一点 P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若F1PF2为直角三角形，则这样的点 P 有_个 答案： 6( 考查椭圆的几何性质，焦点三角形) *10 椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有6 个不同的点P，使得 F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 答案： (1 3， 1 2)( 1 2，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)