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1、极值点偏移的问题（含答案） 2 1212 ( )ln,( 1( )1 1 21()() 3( ), f xxax a f xxxa af mf m f xx xxxe 1. 已知为常数） （）若函数在处的切线与轴平行，求 的值； （ ）当时，试比较与的大小； （ ）有两个零点证明： 2 1212 ( )ln ( ) ,. f xxax f x x xxxe 变式：已知函数，a为常数。 (1) 讨论的单调性； (2) 若有两个零点，试证明： 2 012120 ( )+sin,(0,1); 2 ( ) ( )()()(),2. x f xxaxx f xa af xf xf xf xxxx 2.
2、已知 （1）若在定义域内单调递增，求的取值范围； （2）当 =-2时，记取得极小值为若求证 2 12121212 1 ( )ln-,() 2 (1 =( ) ( )( ) (1)( ) 51 ,0, 2 f xxaxx aR ff x g xf xaxg x ax xf xfxx xxx 3. 已知 （1）若）0，求函数的最大值； （2）令=-, 求函数的单调区间； （3）若 =-2, 正实数满足（ ）证明： 2 1212 2(1) 1 (1)1 , x x x xxe 4. 设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx- 证明：当时，g(x)0 恒成立； （2）若函数 f(x) 无零
3、点，求实数 a的取值范围； （3）若函数 f(x) 有两个相异零点 x求证： x 1212 3 12 ( )2ln, 1( ) 2( ), 8 fxxaaxaR f x f xx xxx axxa 5. 已知常数。 （）求的单调区间； （ ）有两个零点，且； (i)指出 的取值范围，并说明理由；（ii)求证： 6.设函数( )e() x f xaxa aR ，其图象与x轴交于 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，两点，且 12 xx （1）求a的取值范围； （2）证明： 12 0fx x（( )fx 为函数( )f x 的导函数）； （3）设点C 在函数( )yf x 的图象上，且ABC
4、 为等腰直角三角形，记 2 1 1 1 x t x ， 求 (1)(1)at的值 【解】 （ 1）( )exfx a 若0a ，则( )0fx，则函数( )f x 是单调增函数，这与题设矛盾所以0a，令 ( )0fx，则lnx a 当lnxa 时，( )0fx，( )f x 是单调减函数；lnxa 时，( )0fx，( )f x 是单调增 函数； 于是当lnxa 时，( )f x 取得极小值 因为函数( )e() x f xaxa aR 的图象与x轴交于两点 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，(x1x2)， 所以(ln)(2ln)0faaa，即 2 ea . 此时，存在 1ln(1)e
5、0af，； 存在 3 3lnln(3ln)3 lnaafaaaaa， 32 30aaa， 又由( )f x 在 (ln)a，及 (ln)a，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知 2 ea为所 求取值范围 . （2）因为 1 2 1 2 e0 e0 x x axa axa ， ， 两式相减得 21 21 ee xx a xx 记 21 (0) 2 xx s s， 则 12 12 212 12 2 21 eee e2(ee ) 22 xx xx xx ssxx fs xxs ， 设 ( )2(ee) ss g ss，则( )2(ee)0 ss g s，所以( )g s 是单调减函数， 则有( )(
6、0)0g sg，而 12 2 e 0 2 xx s ，所以 12 0 2 xx f 又( )e x fxa 是单调增函数，且 12 1 2 2 xx x x 所以 12 0fx x （3）依题意有e0 i x i axa，则(1)e0 i x i a x112 i xi（， ） 于 是 12 2 12 e(1)(1) xx axx， 在 等 腰 三 角 形ABC 中 ， 显 然C = 90 ， 所 以 12 012 () 2 xx xxx，即 00 ()0yf x， 由直角三角形斜边的中线性质，可知 21 0 2 xx y ， 所以 21 0 0 2 xx y，即 12 21 2 12 e()
7、0 22 xx xx a xxa， 所以 21 1212 (1)(1)()0 22 xx a axxxxa， 即 21 1212 (1)(1) (1)(1)(1)(1)0 22 xx a axxxx 因为 1 10x，则 2 221 11 1 1 111 10 1212 x xxx a a xx ， 又 2 1 1 1 x t x ，所以 22 1 (1)(1)0 22 a attt， 即 2 1 1 a t ，所以 (1)(1)2.at 7. 已知函数( )() x f xxcxR （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg x的图象与函数( )yf x的图象关于直线1
8、x对称，证明当 1x时，( )( )f xg x （）如果 12 xx，且 12 ()()f xf x，证明 12 2xx （）解： f ( )(1) x xfx e 令 f (x)=0,解得 x=1 当 x 变化时， f (x) ，f(x)的变化情况如下表 X (,1) 1 (1,) f (x) + 0 - f(x) 极大值 所以 f(x) 在(,1)内是增函数，在(1,) 内是减函数。 函数 f(x) 在 x=1 处取得极大值f(1) 且 f(1)= 1 e （）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e 令 F(x)=f(x)-g(x),即 2 ( )(2
9、) xx F xxexe 于是 22 ( )(1)(1) xx Fxxee 当 x1 时，2x-20, 从而 2x-2 e10,0,F x e又所以(x)0, 从而函数F （ x）在1,+ ) 是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0，所以 x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). ) 证明：（1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx 12 由（ ）及f(xf(x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由（ ）及f(xf(x得与矛盾。 根据（ 1） （2）得 1212 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由（）可知
10、，) 2 f(x) 2 g(x, 则) 2 g(x=) 2 f(2-x，所以) 2 f(x) 2 f(2-x, 从而 ) 1 f(x) 2 f(2-x. 因为 2 1x，所以 2 21x，又由（）可知函数f(x)在区间（ - ， 1） 内事增函数，所以 1 x 2 2x, 即 12 xx2. 8. 已知函数xaaxxxf)2(ln)( 2 （ 12 分） （I）讨论 f(x)的单调性；（II ）设 a 0，证明：当 a x 1 0时，) 1 () 1 (x a fx a f ； （III ） 若函数 y= f (x)的图像与x 轴交于 A、 B 两点，线段 AB 中点的横坐标为x0， 证明：f
11、(x0)0 时 f(x) f( x)即可。 1)1( 11 1 1 1 )()( 2 222 xex x e e x x e x x xfxf x x xx 。 1)21()( 0,1)1()( 22xx exxgxxexxg令。 ,04)21()( 1)21()( 222xxx xeexxhexxh令 0)0()(0)(hxhxhy）上单调递减，在（ 0)0()(0)(gxgxgy）上单调递减，在（ . 0001)1( 1 2 2 yxxex x e y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(xfxfxfxf .0)()( 212121 xxxxxfxf时，且所以，当 10.已
12、知函数 2 ( )lnf xaxx. （1）当2a时，求函数 ( )yf x 在 1 ,2 2 上的最大值； （2）令( )( )g xfxax，若( )yg x在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围； （3）当 2a 时，函数 ( )( )h xf xmx 的图象与 x轴交于两点 12 (,0),(,0)A xB x ，且 12 0xx ，又 ( )h x 是 ( )h x 的导函数.若正常数 , 满足条件 1, .证明： 12 ()0hxx 解（ 1） , 22 2 2 )( 2 x x x x xf 函数)(xfy在 2 1 ,1是增函数，在 1,2是减函数， 3 分 所以111ln2
13、)1()( 2 max fxf 4 分 （2）因为axxxaxg 2 ln)(，所以ax x a xg2)(， 5分 因为)(xg在区间)3, 0(上不单调，所以0)(xg在（ 0，3）上有实数解，且无重根， 由0)(xg，有 1 2 2 x x a=) 2 9 ,0(4) 1 1 1(2 x x， （ ) 3, 0(x） 6 分 又当8a时，0)(xg有重根2x， 7 分 综上a ) 2 9 ,0( 8分 （3）mx x xh2 2 )( ，又0)(mxxf有两个实根 21, x x， 0ln2 0ln2 2 2 22 1 2 11 mxxx mxxx ，两式相减，得)()()ln(ln2
14、21 2 2 2 121 xxmxxxx， )( )ln(ln2 21 21 21 xx xx xx m , 10 分 于是)( )ln(ln2 )(2 2 )( 21 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xx xxh )(12( )ln(ln22 12 21 21 21 xx xx xx xx 11 分 0)(12(, 12, 12 xx 要证：0)( 21 xxh，只需证： 0 )ln(ln22 21 21 21 xx xx xx 只需证： 0ln 2 1 21 21 x x xx xx (*) 12 分 令)1 ,0( 2 1 t x x ，(*) 化为0ln 1 t t t ，只证0 1 ln)( t t ttu即可( )u t在 （ 0， 1 ） 上 单 调 递 增 ，0 1 ln,0)1()( t t tutu， 即0ln 2 121 x x t xx 0)( 21 xxh 14 分