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1、数学是科学的大门和钥匙-培根三角形的证明全章复习与巩固（提高）【巩固练习】一.选择题1有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是（） A3米 B4米 C5米 D6米2.（2016秋仙游县期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60”时，首先应假设这个三角形中（）A每一个内角都大于60 B每一个内角都小于60C有一个内角大于60 D有一个内角小于603. 如图，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：(1)DE=
2、AC；(2)DEAC；(3)CAB=30；(4)EAF=ADE。其中结论正确的是（ ）A、(1)，(3) B、(2)，(3) C、(3)，(4) D、(1)，(2)，(4)4. 如图，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DEAB，垂足为E，且AB=6cm，则DEB的周长为（ ）A、4cm B、6cm C、8 cm D、10cm5.如图，ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（ ）A、30 B、36 C、45 D、706.如图，已知AC平分PAQ，点B，B分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB，那么该条件不可以是（ ）A
3、、BBAC B、BC=BC C、ACB=ACB D、ABC=ABC7.（2015永州模拟）在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A1个 B2个 C3个 D4个8. 在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC的（ ）A、三边中线的交点 B、三条角平分线的交点 C、三边上高的交点 D、三边中垂线的交点二、填空题9. 如图，有一底角为35的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三
4、角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是_ 3510.用反证法证明 “三角形中至少有一个角不小于60时，第一步为假设“ ”11. 如图，在RtABC中C=90，BC=6，AC=8，点D在AC上，将BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C处，则ADC的面积是_.12. 如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_.13. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_.14.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，
5、CE=3cm，则DE= cm15.（2015辽阳）如图，在ABC中，BDAC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于 16. 如图：ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB.三、解答题17.（2016秋江都区校级期中）如图，已知BEAC，CFAB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD求证：AD平分BAC18. 如图，在长方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30cm2，求折叠AED的面积19. 如图1
6、，点C为线段AB上一点，ACM， CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交与F点.(1)求证：AN=BM；(2)求证： CEF为等边三角形；(3)将ACM绕点C按逆时针方向旋转90，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）20.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是ABC中BC边上一点，EB=EC，ABE=ACE，求证：BAE=CAE.证明：在AEB和AEC中，AEBAEC(第一步)BAE=CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过
7、程.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】解：因为是一块正方形的绿地，所以C=90，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走3125=6米故选D2. 【答案】A；【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60，即都大于60故选：A3. 【答案】D；【解析】解：EAAB，BCAB，EAB=ABC=90RtEAD与RtABCD为AB中点，AB=2AD又EA=AB=2BCAD=BCRtEADRtABCDE=AC，C=ADE，E=FAD又EAF+DAF=90E
8、AF+E=90EFA=180-90=90，即DEAC，EAF+DAF=90，C+DAF=90C=EAF，C=ADEEAF=ADE,故选D4. 【答案】B；【解析】AD平分CAB交BC于点DCAD=EADEABAED=C=90AD=ADACDAED（AAS）AC=AE，CD=DEC=90，AC=BCB=45DE=CEAC=BC，AB=6cm，2BC2=AB2，即BC= = ，BD=AB-AE=AB-AC=6-，BC+BE= +6- =6(cm)，DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）另法：证明三角形全等后，AC=AE，CD=DEAC=BC，BC=AEDEB的周长=DB+DE+EB
9、=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6(cm)故选B5. 【答案】B；【解析】解：AB=AC，AD=BD=BC，A=ABD，C=ABC=CDB，设A=x，则ABD=A=x，C=ABC=CDB=A+ABD=2xA+C+ABC=180，x+2x+2x=180，x=36，A=36，ABC=C=726. 【答案】B；【解析】添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；添加D选项以后是ASA证明三角形全等故选B7. 【答案】D；【解析】解：如图，以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；以点A为圆心，
10、以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），以OA为腰的等腰三角形有3个；作OA的垂直平分线，交x轴于一点，以OA为底的等腰三角形有1个，综上所述，符合条件的点P共有4个，故选：D8. 【答案】D；【解析】三角形三边中垂线的运用.二.填空题9. 【答案】125；【解析】解：AB=AC，B=35，C=35，A=110，DEBC，ADE=360-110-35-90=125，1251109035，四边形中，最大角的度数为：125故选C10.【答案】三角形的三个内角都小于60；【解析】第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；
11、（3）假设不成立，则结论成立11.【答案】6；【解析】C=90，BC=6，AC=8，AB= =10，BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB边的点C处，BCD=C=90，BC=BC=6，DC=DC，AC=AB-BC=10-6=4，SADB+SDBC=SABC， ABDC+ BCDC= ACBC，10DC+6DC=68，DC=3，SADC= DCAC= 43=612.【答案】13；【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，BD=2+3=5，AD=12，由勾股定理得：AB= =1313.【答案】20；【解析】根据题意得，x-4=0，y-8=0，解得x=4，y=8，4是腰长时，三角形的三边
12、分别为4、4、8，4+4=8，不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20故答案为：2014.【答案】7；【解析】解：在RtABC中，BAC=90，ADB=AEC=90BAD+EAC=90，BAD+B=90EAC=BAB=ACABDACE（AAS）AD=CE，BD=AEDE=AD+AE=CE+BD=7cm故填715.【答案】8；【解析】解：BDAC于D，点E为AB的中点，AB=2DE=25=10，在RtABD中，BD=8故答案为：816.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE;【解析】ADBC，CEAB，垂足分别为
13、D、E，BEC=AEC=90，在RtAEH中，EAH=90-AHE，又EAH=BAD，BAD=90-AHE，在RtAEH和RtCDH中，CHD=AHE，EAH=DCH，EAH=90-CHD=BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB故填空答案：AH=CB或EH=BE或AE=CE三.解答题17.【解析】证明：BEAC，CFAB，BFD=CED=90在BDF与CDE中，BDFCDE（AAS）DF=DE，AD是BAC的平分线18.【解析】解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF由SABF=BFAB=30，AB=5，得BF=12在RtABF中，由勾股
14、定理，得所以AD=13设DE=x，则EC=5x，EF=x，FC=1，在RtECF中，EC2+FC2=EF2，即（5x）2+12=x2解得故19.【解析】（1）证明：ACM、CBN是等边三角形，AC=MC，BC=CN，ACM=BCN=60，ACN=MCB=120，ACNMCB，AN=MB（2）证明：由（1）得ACNMCB， 1=2， 又ACM=BCN=MCN=60，CN=CMECNFCB，EC=FC ECF是等边三角形.（3）AN=MB成立，ECF是等边三角形不成立.20.【解析】解：上面证明过程不正确；错在第一步正确过程如下：在BEC中，BE=CEEBC=ECB又ABE=ACEABC=ACBAB=AC在AEB和AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=ACAEBAEC（SSS）BAE=CAE数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚