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1、数学是科学的大门和钥匙-培根不等式及其性质（提高）知识讲解责编：杜少波 【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念 一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“”表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：(1)不等号“”或“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“”读作“大于”表示左边
2、的量比右边的量大“”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如34，-1-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立【高清课堂：一元一次不等式370042 不等式的基本性质】知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，那么acbc不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以
3、)同一个正数，不等号的方向不变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变【典型例题】类型一、不等式的概念1有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，
4、其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形判断下列正确的情形是( ).【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量5克，3个糖果的质量16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的【答案】D.【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对【总结升华】观察图示，确定大小本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息
5、列出不等式举一反三：【变式】设“”、“”、“”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么、这三种物体按质量从大到小排列应为（）.A、 B、 C、 D、 【答案】C.类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题：（1）,则；（2），则；（3）若，则；（4）若，则.其中正确的个数是（ ）.A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个【答案】B.【解析】(1)由得，因为0,所以，正确；（2）因为，当时，所以错误；（3）因为，当时，没有意义，而当时，所以错误；（4）因为，所以，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，
6、特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三：【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )A若ab，则a2b2； B若a2b2，则ab C若ab，则a|b| D若a|b|，则ab【答案】D. 【变式2】若点P（1m，m）在第一象限，则（m1）x1m的解集为 【答案】x1.解：点P（1m，m）在第一象限，1m0，即m10；不等式（m1）x1m，（m1）x（m1），不等式两边同时除以m1，得：x1，故答案为：x13.设a0bc，且a+b+c=-1，若M，N，P，试比较M、N、P的大小【答案与解析】a+b+c=-1，b+c
7、=-1-a，M=1，同理可得N=1，P=1；又a0bc，0，1111即MPN【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系4.（2016春唐河县期中）【提出问题】已知xy=2，且x1，y0，试确定x+y的取值范围【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解【解决问题】解：xy=2，x=y+2又x1，y+21，y1又y0，1y0，同理得1x2由+得1+1y+x0+2x+y的取值范
8、围是0x+y2【尝试应用】已知xy=3，且x1，y1，求x+y的取值范围【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解【答案与解析】解：xy=3，x=y3又x1，y31，y2又y1，1y2，同理得2x1由+得12y+x21x+y的取值范围是1x+y1【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚