数学高考基础知识 常见结论详解(二).doc

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1、数学高考基础知识、常见结论详解(二)四、数列 考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义;了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 。（2）数列计算是本章的中心内容

2、，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容。（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标。 函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解。 分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； 整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解。（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类

3、应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错。一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列an的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式：9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数

4、。11、等差数列的前n项和公式：Sn= ；Sn= Sn= 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。12、等比数列的通项公式： an=a1qn-1an=akqn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0)。13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论14、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。15、等差数列an中，若m+n=p+q，则 16、等比数列an中，若m+n=p+q

5、，则 17、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。18、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。19、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列an bn、 、 仍为等比数列。20、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。21、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3

6、(为什么？)提示：等比数列各项可以不同号24、an为等差数列，则 (c0)是等比数列。25、bn（bn0）是等比数列，则logcbn (c0且c 1) 是等差数列。26. 在等差数列 中：（1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中：（1）若项数为 ，则， （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列an的最大、最小项的方法：

7、an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最大值 。(2) 当 0时，满足 的项数m使得 取最小值 。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 五、平面向量 考试要求：(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。(2) 掌握向量的加法和减法。(3) 掌握实数与向量的积.理解两个向量共线的充要条件。(4) 了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

8、(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。(6) 掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式.并且能熟练运用掌握平移公式。一基本概念：1、向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2、加法与减法的代数运算：(1) 。(2) 若 =（ ）, =（ ）则 =（ ）。向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = , = 且有 + 。向量加法有如下规律： = (交换律); +( + )=(

9、+ )+ （结合律）; + = ( )= 。3实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。(1) = ;(2) 当 0时， 与 的方向相同；当 0时， 与 的方向相反；当 =0时， = 。 (3) 若 =（ ），则 =（ ）。两个向量共线的充要条件：(1) 向量与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= 。(2) 若 =（ ）, =（ ）则 。平面向量基本定理：若 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = + 。4P分有向线段 所成的比：设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数

10、使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。当点P在线段 上时， 0；当点P在线段 或 的延长线上时， 0；分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ 1）， 中点坐标公式： 。 5向量的数量积：（1）向量的夹角：已知两个非零向量 与b，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量 与 的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 。其中 cos 称为向量 在 方向上的投影。（3）向量的数量积的性质：若 =（ ）, =（ ）则 = = cos ( 为单位向量); =0 （ ， 为非零向量）;= ;cos = = 。(4) 向量的

11、数量积的运算律： = ;( ) = ( )= ( );( ) = + 。二、主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。六、立体几何 考试要求：A.直线、平面、简单几何体(1) 掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的

12、位置关系。(2) 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念.对于异面直线的距离.只要求会计算已给出公垂线时的距离。(3) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念；掌握三垂线定理及其逆定理。(4) 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。(5) 会用反证法证明简单的问题。(6) 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。(7) 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质

13、，会画直棱柱的直观图。(8) 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。(9) 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。B.直线、平面、简单几何体(1) 掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想像它们的位置关系。(2) 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。(3) 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。(4) 了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算

14、。(5) 掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。(6) 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。(7) 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面直线的距离，只要求会计算己给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。(8) 了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念。(9) 了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。(10) 了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图。(11) 了解球的概念.掌握球的性质.

15、掌握球的表面积、体积公式。一基本概念：1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。3.直线与平面 位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 直线与平面垂直的证明方法有哪些？ 直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是00，900 三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证

16、明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线。4.平面与平面 位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） 掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 两平面间的距离问题点到面的距离问题 二面角。二面角的平面角的作法及求法：a、定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；b、垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。C、射影面积法，一般是二面角的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。5棱柱 掌握棱柱的定义、分类，理解直棱

17、柱、正棱柱的性质。 掌握长方体的对角线的性质。 平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。 S侧各侧面的面积和。思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？ V=Sh ，对于特殊的棱柱的体积如何计算？6棱锥 棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心） 相关计算：S侧各侧面的面积和，V= Sh7球的相关概念：S球=4R2V球 R3球面距离的概念8正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。掌握欧拉公式：V+F-E=2其中：V顶点数E棱数F面数9会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。二、主要思想与方法：1计算问题：（1）

18、空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角 范围：090 方法：平移法；补形法。直线与平面所成的角 范围：090 方法：关键是作垂线，找射影。二面角 方法： 定义法； 三垂线定理及其逆定理； 垂面法。注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算（2）空间距离 两点之间的距离。 点到直线的距离。 点到平面的距离。 两条平行线间的距离。 两条异面直线间的距离。 平面的平行直线与平面之间的距离。 两个平行平面之间的距离。七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距

19、离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点。求点到平面的距离：(1) 直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长。(2) 转移法，转化成求另一点到该平面的距离。(3) 体积法。求异面直线的距离：(1) 定义法，即求公垂线段的长。(2) 转化成求直线与平面的距离。(3) 函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的。2平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变3在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形

20、将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决。 将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法。 补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形。 利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高。 平行转化 垂直转化 七、平面解析几何 考试要求：直线和圆的方程(1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。

21、(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。(5) 了解解柝几何的基本思想，了解坐标法。(6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。圆锥曲线方程(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。(4) 了解圆锥曲线的初步应用。（一）直线与圆知识要点直线的倾斜角与斜率k=tg（ ），直线的倾斜角一定存在，范围是0,），但斜率不一定存在。斜率的求法：依据直线方程依据倾斜角依据两点的坐标直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线

22、的方程；能够根据方程，说出几何意义。两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。点到直线的距离公式。会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。圆的标准方程：(xa)2+(yb)2=r2圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。圆的参数方程： 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。（二）圆锥曲线1椭圆及其标准方程： 双曲线及其标准方程： 抛物线及其标准方程： 4直线与圆锥曲线： 注意点：（

23、1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解（2）要学会变形使用两点间距离公式 ，当已知直线 的斜率 时，公式变形为 或 ；当已知直线的倾斜角 时，还可以得到 或 （3）灵活使用定比分点公式，可以简化运算。（4）会在任何条件下求出直线方程。（5）注重运用数形结合思想研究平面图形的性质解析几何中的一些常用结论：1.直线的倾斜角的范围是，)2.直线的倾斜角与斜率的变化关系：当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角的增大而增大。当是钝角时，k与同增减。3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。4.两直线：L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1L2 A1A2+

24、B1B2=05.两直线的到角公式：L1到L2的角为，tan= 夹角为，tan=| |注意夹角和到角的区别6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。7.有关对称的一些结论点（，）关于轴、轴、原点、直线y=x的对称点分别是（，），（，），（，），（，）如何求点（，）关于直线Ax+By+C=0的对称点直线Ax+By+C=0关于轴、轴、原点、直线y=x的对称的直线方程分别是什么，关于点（，）对称的直线方程又是什么？如何处理与光的入射与反射问题？曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为：（）点(a.b)（）轴（）轴（）原点（）直线y=x（）直线y=x（）直线x点和圆的位置关系的判别转化为

25、点到圆心的距离与半径的大小关系。点P(x0,y0),圆的方程：(xa)2+(yb)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2r2点P(x0,y0)在圆外；如果 (x0a)2+(y0b)2r相离d=r相切dr+R两圆相离dr+R两圆相外切|Rr|dr+R两圆相交d|Rr|两圆相内切d|Rr|两圆内含d=0，两圆同心。14. 两圆相交弦所在直线方程的求法：圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=015. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最

26、小值的求法。16. 焦半径公式：在椭圆 中，F、F分别左右焦点，P(x0,y0)是椭圆是一点，则：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 (2) 三角形PFF的面积如何计算17圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。18直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)则弦长P1P2= 19. 双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。20. 抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆）解题思路与方法：高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析

27、几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过

28、图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。定式根据“形”设方程

29、的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)。定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围。（7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解。13