《2020高考数学精准提分二轮第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学精准提分二轮第二篇 第10练 三角恒等变换与解三角形.docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第10练三角恒等变换与解三角形中档大题规范练明晰考情1.命题角度：与三角恒等变换、三角函数的性质相结合，考查解三角形及三角形的面积问题.2.题目难度：一般在解答题的第一题位置，中档难度.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解
2、(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，所以tan B.又因为B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A .因为ac，所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.2.已知在ABC中，ACcos CBC，点M在线段AB上，且ACMBCM.(1)证明：ABC是直角三角形；(2)若AC6CM6，求sinA
3、CM的值.(1)证明记BCa，ACb，因为ACcos CBC，故cos C，故a2c2b2，故B90，故ABC是直角三角形.(2)解因为ACMBCM，故cosBCAcos 2BCM2cos2BCM1，即2a21，解得a，故cosBCM，则sinACM.3.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由2，得cacos B2.cos B，ac6.由余弦定理得，a2c2b22accos B.b3，a2c292213.联立解得或ac，a3，c2.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理，得sin Csin
4、 B.abc，C为锐角，cos C，cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.考点二三角形的面积问题方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.4.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长.解(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理，得sin Csin B，故sin Bs
5、in C.(2)由题设及(1)，得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.由题意得bcsin A，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周长为3.5.(2018内蒙古集宁一中月考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2asin Csin Basin Absin Bcsin C.(1)求角C的大小；(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2，求ABC的面积.解(1)由2asin Csin Basin Absin Bcsin C得，2absin Ca2b2c2，sin C，si
6、n Ccos C，tan C，C(0，)，C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ)，得asin Bbcos A，由正弦定理得sin Acos A，且A(0，)，A.根据正弦定理可得，解得c，SABCacsin B2sin(AC)sin.6.(2018天一大联考)已知ABC的内角A，B，C满足：.(1)求角A；(2)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值.解(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据，可得，化简得a2b2c2bc，所以cos A，又因为0A，所以A.(2)由正弦定理得2R(R为ABC外接圆半径)，所以a2Rsin A2sin ，所以3b2c2bc2bc
7、bcbc，所以Sbcsin A3(当且仅当bc时取等号).考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.7.(2018宜昌一中月考)已知f(x)12 sincos x3，x.(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD为ABC的内角平分线，已知ACf(x)max，BCf(x)min，CD2，求C.解(1)f(x)12sincos x312cos x36sin xcos x6co
8、s2x33sin 2x3cos 2x6sin，f(x)在上是增函数，在上是减函数，又f(0)3，f3.f(x)maxf6，f(x)min3.(2)在ADC中，在BDC中，sinADCsinBDC，AC6，BC3，AD2BD.在BCD中，BD2CD2BC22CDBCcos 1712cos ，在ACD中，AD2AC2CD22ACCDcos 4424cos ，又AD24BD2，4424cos 6848cos ，cos ，C(0，)，C.8.已知函数f(x)sin2xsin2，函数f(x)的图象关于直线x对称.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a
9、1，f，求ABC面积的最大值.解(1)f(x)cos 2xcoscos 2xcos 2xsin 2xsin.令2xk，kZ，解得x，kZ.f(x)的对称轴为x，kZ.令，kZ，解得，kZ.1，取k1，f(x)sin.f(x)的最小正周期T.(2)fsin，sin.又0A，A.由余弦定理得，cos A，b2c2bc12bc，当且仅当bc时，等号成立.bc1.SABCbcsin Abc，ABC面积的最大值是.9.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cos C)，n(b，cos B)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，当ABC的面积取得最大值时，求ABC内切圆的半径
10、.解(1)由已知可得(2ac)cos Bbcos C，结合正弦定理可得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，即2sin Acos Bsin(BC)，又sin Asin(BC)0，所以cos B，又0B，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accos B，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而SABCacsin Bac，当且仅当ac1时，SABC取得最大值.设ABC内切圆的半径为r，由SABC(abc)r，得r.典例(12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b
11、，c，向量m(ab，sin Asin C)，向量n(c，sin Asin B)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD，求a2c的最大值及此时ABC的面积.审题路线图规范解答评分标准解(1)因为mn，所以(ab)(sin Asin B)c(sin Asin C)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知，cos B.因为B(0，)，所以B.5分(2)设BAD，则在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin ，AB2sincos sin ，所以a2BD4sin ，cABcos sin ，8分从而a2c2co
12、s 6sin 4sin.由可知，所以当，即时，a2c取得最大值4.11分此时a2，c，所以SABCacsin B.12分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步再反思：审视转化过程的等价性与合理性.1.(2018北京)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Ac
13、os Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.2.(2018全国)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题意知，ADB90，所以cosADB.(2)由题意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3.(2018辽师附中月考)已知m，n，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比
14、数列，求f(B)的取值范围.解(1)f(x)mnsin，令2k2k，kZ，得4kx4k，kZ，所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由b2ac可知cos B(当且仅当ac时取等号)，所以0B，1f(B)，综上，f(B)的取值范围为.4.在某自然保护区，野生动物保护人员历经数年追踪，发现国家一级重点保护动物貂熊的活动区为如图所示的五边形ABECD内，保护人员为了研究该动物生存条件的合理性，需要分析貂熊的数量与活动面积的关系，保护人员在活动区内的一条河的一岸通过测量获得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面内，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1 km.(1)求BC的长；(2)野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为多少？(1.732，结果保留两位小数)解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(km).(2)依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(km)，又sin 105sin(6045)，sin 15sin(6045)，所以活动区ABECD的面积SSACDSABCSBCEACCDACCBsin 15BCCEsin 1051111.87 (km2)，故野生动物貂熊的活动区ABECD的面积约为1.87 km2.