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1、衡水独家秘籍之2019高中期末复习专题九破解两条直线的位置关系问题【方法综述】平面解析几何中两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况.而平面解析几何中的距离问题、对称问题，往往涉及平行、垂直（相交），因此成为考试命题的热点.下面举例说明1.根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直条件求解参数的取值例1. 已知直线.若，则实数的值是（）A. 或 B. 或 C. D.解：，则即经检验都符合题意故选A.例2.已知直线l的倾斜角为23，直线l1经过P(-2,3)，Q(m,0)两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为（ ）A. -2
2、B. -3 C. -4 D. -5解：klkl1=-33-0-2-m=-1，m=-5，故选D点评：如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点利用此法只需把直线方程化为一般式即可2.有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交例3.若直线5x4y2m10与直线2x3ym0的交点在第四象限，求实数m的取值范围分析：可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标由于交点在第四
3、象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m的取值范围解：根据题意，由可得这两条直线的交点坐标为.因为交点在第四象限，所以解得m2.所以实数m的取值范围是.点评：本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力3.有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式是d(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离为d(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程
4、化为一般式方程；(2)使x，y的系数分别对应相等)例4.求两平行线l1：2x3y80，l2：4x6y10的距离分析：用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x，y的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离解：把l1：2x3y80变形为l1：4x6y160.利用公式，可得l1与l2的距离为d.4.对称问题中学数学涉及对称问题有两大类：一类是中心对称，另一类是轴对称常见对称问题有以下四种类型（1）点关于点对称点P(a，b)关于点M(x0，y0)的对称点为P(2x0a，2y0b)事实上点关于点对称的本质是中点问题，由中点坐标公式即可求得对称点的坐标（2）直线关于点对称直线l：AxByC0关
5、于点M(x0，y0)的对称直线l的方程是A(2x0x)B(2y0y)C0.事实上，设对称直线l上任一点为P(x，y)，则P关于点M(x0，y0)的对称点为P(2x0x，2y0y)，而点P在直线l上，故将P的坐标(2x0x，2y0y)代入AxByC0得A(2x0x)B(2y0y)C0.（3）点关于直线对称求点P(a，b)关于直线l：AxByC0的对称点P(a，b)，要抓住其两个几何特征：PPl；PP的中点在l上，即由方程组解出a，b.但较特殊的对称情况可直接写出结果：P(a，b)关于x轴的对称点P(a，b)；P(a，b)关于y轴的对称点P(a，b)；P(a，b)关于直线xx0的对称点P(2x0a
6、，b)；P(a，b)关于直线yy0的对称点P(a，2y0b)；P(a，b)关于直线xyc0的对称点P(bc，ac)；P(a，b)关于直线xyc0的对称点P(bc，ac)（4）直线关于直线对称求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程可以按以下方法求解：在l1上任取相异两点P1，P2，求出P1，P2关于直线l的对称点P1，P2，再由P1，P2的坐标写出直线l2的方程任取l2上一点P(x，y)，用x，y表示出点P关于直线l的对称点P的坐标(x，y)，再将(x，y)代入直线l1的方程整理可得l2的方程特别地，若l1l，l2还有其他求法(请自己思考)例5.求直线3x4y50关于点M(2，3)对称的直线的
7、方程解：方法一由对称的直线l与3x4y50平行，故设直线方程为3x4ym0，而M到两直线的距离相等，则，解得m41，m5(舍去)所以直线l的方程为3x4y410.方法二由方程3x4y50，取该直线上两点A，B，它们关于点M(2，3)的对称点为A，B.过A，B的直线即为l：3x4y410.方法三设所求直线l上任意一点为P(x，y)，则P关于点(2，3)的对称点为P(4x，6y)，将P坐标代入3x4y50，得3(4x)4(6y)50，即3x4y410，这就是所求直线l的方程点评：通过三种解法的比较，这类问题采用方法三的解法更简捷例6.已知直线l1：2xy40，求l1关于直线l：3x4y10对称的直
8、线l2的方程解：方法一由得l1与l的交点P(3，2)又取l1上一点A(2，0)，设A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，则解得B(，)显然P(3，2)、B(，)都在l2上，由此可得l2的方程为2x11y160.方法二设直线l2上任一动点为M(x，y)，它关于直线l的对称点为M(x0，y0)，则解得x0，y0.由M(x0，y0)在直线l1上，故240，化简为2x11y160，这就是直线l2的方程点评：本题也可在直线l1上任取两点，求出它们关于直线l：3x4y10的对称点，从而得出l2的方程例7.已知ABC的顶点A(3，1)，B，C的角平分线方程分别是x0，yx，求BC边所在的直线方程解：如图，
9、设点A关于直线BO，CD的对称点分别为A1，A2.因为A(3，1)，且B的平分线方程为x0，故点A关于直线BO的对称点A1的坐标为(3，1)又因为C的平分线CD的方程为yx，所以点A关于直线CD的对称点A2的坐标为(1，3)而A1(3，1)，A2(1，3)两点都在直线BC上，由此可得直线BC的方程为2xy50.点评：本题的解答抓住了角平分线的性质对称性(AB，CB两直线关于直线BO对称，AC，BC两直线关于直线CD对称)求解【针对训练】1已知m0，若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行，则m的值为（ ）A 6 B 7 C 8 D 9【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，
10、因此由题意有3mm=m-127m，解得m=7故选B2在直线3x-4y-27=0上到点P2,1距离最近的点的坐标是（ ）A 5,-3 B 9,0 C -3,5 D -5,3【答案】A【解析】根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x4y27=0的斜率为34，所以过P点垂直于已知直线的斜率为-43，又P（2，1），则该直线的方程为：y1=-43（x2）即4x+3y11=0，与已知直线联立得：&4x+3y-11=0&3x-4y-27=04+3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入解得y=3，所以&x=5&y=-3，所以直线3x4y27=0上到点P（2，
11、1）距离最近的点的坐标是（5，3）故选：A3直线3-4关于点（2，-1）对称的直线方程是（）A 3-10 B 3-18 C 3+4 D 4+3【答案】A【解析】设(m,n)为所求直线上任意一点，则该点关于点P(2,-1)的对称点为(4-m,-2-n)，由题意得点(4-m,-2-n)在直线y=3x-4上，-2-n=3(4-m)-4，整理得n=3m-10，所以所求直线的方程为y=3x-10故选A4如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A 25 B 33 C 6 D 210【答案】D【
12、解析】点P关于y轴的对称点P坐标是-2,0，设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点Pa,b，由b-0a-2-1=-1a+22+b+02-4=0，解得a=4b=2，故光线所经过的路程PP=-2-42+22=210，故选D.5已知直线a+3x+y-4=0和直线x+a-1y+4=0互相垂直，则实数a的值为_；【答案】-1【解析】直线a+3x+y-4=0和直线x+a-1y+4=0互相垂直，（a+3）1+1（a-1）=0，解得a=-1故答案为：-16点(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点是_.【答案】2,-2【解析】设点M（1，1）关于直线l：xy1=0对称的点N的坐标（x，y） 则MN中点的
13、坐标为（x-12，y+12），利用对称的性质得：KMN=y-1x+1=1，且 x-12y+121=0，解得：x=2，y=2，点N的坐标（2，2），故答案为（2，2）7若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称，则l的方程是_【答案】x-2y+2=0【解析】设直线l上任意一点为Px,y，则P关于直线x+y-4=0的对称点Pm,n在直线2x-y-2=0上，由对称性可得y-nx-m-1=-1x+m2+y+n2-4=0，解得m=4-yn=4-x，代入直线l可得24-y-4-x-2=0，化简可得所求直线方程为x-2y+2=0，故答案为x-2y+2=0.8已知动点A,B分别在x轴和直线y=x
14、上，C为定点2,1，则ABC周长的最小值为_.【答案】10【解析】点C关于直线y=x的对称点为C（1，2），点C关于x轴的对称点为C（2，1）三角形PAB周长的最小值为C（1，2）与C（2，1）两点之间的直线距离，|CC（2，1）|=(2-1)2+(-1-2)2=10故答案为：109已知直线l的斜率为-34，且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P（1）求直线l的方程；（2）若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程【答案】（1）l:3x+4y-14=0； （2）y=-34x-14，或y=-34x+294.【解析】（1）kx-y+2k+5=0，kx+2+(5-y)
15、=0，所以过定点P(-2,5)因此y-5=-34(x+2)，即l:3x+4y-14=0（2）设直线m:y=-34x+b，则3=34(-2)+5-b916+1b=-14或294 直线m为：y=-34x-14，或y=-34x+29410已知直线l：kx-y+1+2k=0(kR)(1)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程【答案】（1）k0；（2）面积最小值为4，此时直线方程为：x2y+4=0【解析】（1）直线l的方程可化为：y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则&k0&1+2k0，解得k的取值范围是：k0（2）依题意，直线l在x轴上的截距为：1+2kk，在y轴上的截距为1+2k，A（1+2kk，0），B（0，1+2k），又1+2kk0且1+2k0，k0，故S=12|OA|OB|=121+2kk（1+2k）=12（4k+1k+4）12（4+4）=4，当且仅当4k=1k，即k=12时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y+4=0