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1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课时过关能力提升基础巩固1.如图,在ABC中,AE=15AB,EFBC,EF交AC于F,设AB=a,AC=b,则BF等于()A.-a+15bB.a-15bC.23a-13bD.13a+23b解析:AE=15AB,EFBC,AF=15AC.BF=AF-AB=15AC-AB=15b-a.答案:A2.下列三种说法:一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底;一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底;零向量不可作为基底中的向量.其中正确的说法是()A.B.C.D.答案:B3.已知向量a与b是不共线的非零向量
2、,实数x,y满足(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,则x+y的值是()A.-1B.1C.0D.3解析:a与b不共线,且(2x-y)a+4b=5a+(x-2y)b,2x-y=5,x-2y=4,解得x=2,y=-1.x+y=1.答案:B4.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有CD=43CA+CB,则等于()A.23B.13C.-13D.-23解析:因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使AD=tAB,则CD-CA=t(CB-CA).所以CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.所以1-t=43,t=,解得=-13.答案:C5.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点
3、O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=b,则AF=() A.14a+12bB.13a+23bC.12a+14bD.23a+13b解析:AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.答案:D6.若a与b是一组基底,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基底,则实数m=.解析:p与q不能组成一组基底,pq,存在实数,使p=q,有a+mb=(ma+2b),即a+mb=ma+2b,1=m,m=2,解得m=2.答案:27.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=e1+e2,且a与b是一组基底,则实数的取值范围是.解析:当ab时,设a=
4、mb,则有e1+2e2=m(e1+e2),即e1+2e2=me1+me2,1=m,2=m,解得=12,即当=12时,ab.又a与b是一组基底,a与b不共线,12.答案:-,1212,+8.如图,在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示AG.解:BD=AD-AB=b-a,O是BD的中点,G是DO的中点,BG=34BD=34(b-a),AG=AB+BG=a+34(b-a)=14a+34b.9.已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,AD=a,BE=b,用a,b表示向量BC.解:设AD,BE交于点G,连接DE,如图,则DEAB,且
5、DEAB=DGAG=EGBG=12,GD=13AD=13a,BG=23BE=23b.BD=BG+GD=23b+13a,BC=2BD=43b+23a.能力提升1.如图,在平面直角坐标系xOy中,两个非零向量OA,OB与x轴正半轴的夹角分别为6和23,向量OC满足OA+OB+OC=0,则OC与x轴正半轴夹角的取值范围是()A.0,3B.3,56C.2,23D.23,56答案:B2.如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,线段OC与线段AB交于圆内一点P,若OC=mOA+3mOB,AP=AB,则=()A.56B.45C.34D.25解析:由AP=OP-OA,且OP与OC共线,存在实数,使OP=OC=(
6、mOA+3mOB).AP=AB,(mOA+3mOB)-OA=(OB-OA),即m-1=-,3m=,解得=34,故选C.答案:C3.在ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,且满足CDDA=AEEB=12,DE=BC+CA,则-=.解析:CDDA=AEEB=12,DA=23CA,AE=13AB.DE=DA+AE=23CA+13AB=23CA+13(AC+CB)=13CA-13BC.-=-13-13=-23.答案:-234.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,ca,则a与b的夹角等于.解析:如图,OA=a,OB=b,OC=a+b,则OB=2,BC=1,BCO=90,BOC
7、=30.AOB=120,即a与b的夹角为120.答案:1205.如图,OA,OB不共线,AP=tAB(tR),用OA,OB表示OP=.解析:AP=tAB,OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.答案:(1-t)OA+tOB6.已知a,b是非零向量,且a,b的夹角为3,若向量p=a|a|+b|b|,则|p|=.解析:a|a|是与a同向的单位向量,b|b|是与b同向的单位向量,如图所示,作OA=a|a|,OB=b|b|,则AOB=3,则AOB是边长为1的等边三角形.以OA,OB为邻边作OACB,则OC=OA+OB=p,且OACB是菱形,
8、所以AB与OC互相垂直平分,所以|p|=|OC|=2|OD|=232|OA|=3.答案:37.如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=OA+OB(,R),求+的值.解:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则OC=OD+OE.在RtOCD中,|OC|=23,COD=30,OCD=90,|OD|=4,|CD|=2,故OD=4OA,OE=2OB,即=4,=2,+=6.8.如图,在ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若AM=xAB,AN=yAC.试问:1x+1y是否为定值?解:设AB=a,AC=b,则AM=xa,AN=yb,AG=12AD=14(AB+AC)=14(a+b).所以MG=AG-AM=14(a+b)-xa=14-xa+14b,MN=AN-AM=yb-xa=-xa+yb.因为MG与MN共线,所以存在实数,使MG=MN.所以14-xa+14b=(-xa+yb)=-xa+yb.因为a与b不共线,所以14-x=-x,14=y.消去,得1x+1y=4,所以1x+1y为定值.