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1、第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆在平面上的平行射影可能是()A.圆B.椭圆C.线段D.以上都有可能答案:D2.下列不是由正投影得到的是()A.太阳光下人的影子B.正视图C.侧视图D.俯视图答案:A3.一平面与圆柱母线的夹角为75,则该平面与圆柱面的交线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析:该交线是圆柱的斜截口,故是椭圆.答案:B4.下列叙述中,不是圆锥曲线的是()A.平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹B.平面上到两个定点的距离之差的
2、绝对值等于定长(小于两定点之间的距离)的点的轨迹C.平面上到定点和定直线的距离相等的点的轨迹D.到角的两边距离相等的点的轨迹解析:选项A,B,C分别描述的是椭圆、双曲线和抛物线,选项D是角平分线.答案:D5.两条平行直线在一个平面内的平行投影不可能是()A.两个点B.两条平行直线C.两条相交直线D.一条直线解析:设两条平行直线所在的平面为,当投射线平行于时,投影是两个点或一条直线,否则投影是两条平行直线,不可能是两条相交直线.答案:C6.已知平面与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为22,则平面与圆柱母线的夹角是()A.30B.60C.45D.90解析:设平面与母线夹角为,则cos =22,故=45
3、.答案:C7.若双曲线的两条准线与实轴的交点是两个顶点间线段的四等分点,则其离心率为()A.3B.2C.4D.23解析:设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知4a2c=2a,故e=ca=2.答案:B8.方程x2-3x+2=0的两根可作为()A.两个椭圆的离心率B.一条双曲线、一条抛物线的离心率C.两双曲线的离心率D.一个椭圆、一条抛物线的离心率解析:方程的两根分别为x1=1,x2=2,椭圆0e1,抛物线e=1.答案:B9.已知平面与圆锥面轴线的夹角为45,圆锥面的母线与轴线夹角为60,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为()A.2B.22C.42D.22解析:
4、e=coscos=ca,cos45cos60=c1.c=2,2c=22.答案:B10.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为()A.2B.2C.5D.22解析:作出如图所示的图形,在椭圆上取一点P(x,y),设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则SPF1F2=122c|y|=c|y|.当P点为短轴顶点时,|y|最大为b.所以Smax=bc.又bc=1,所以a2=b2+c22bc=2,即2a22,当且仅当b=c=1时等号成立.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在圆锥内部嵌入Dandelin双球,若
5、一个位于平面的上方,一个位于平面的下方,并且与平面和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的.答案:两个焦点12.用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是、.解析:联想立体图形及课本方法,可得结论.要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况.答案:圆圆或椭圆13.已知双曲线的左、右焦点分别为F2,F1,在右支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,则ABF2的周长是.解析:由双曲线的结构特点,知AF2-AF1=8,BF2-BF1=8,把两式相加,得AF2+BF2-AB=16,AF2+BF2=16+AB=21.ABF2的周长=AF2+BF2+AB=21+5=26.答案:2614.设椭圆的两个焦点分别
6、为F1,F2,过F2作长轴的垂线,分别交椭圆于点P,Q,PQF1为等边三角形,则椭圆的离心率为.答案:3315.一圆的面积为5,若该圆与平行投影方向垂直,其投影面积为10,则平行投影方向与投射面的夹角是.解析:如图,BC为投影方向,显然AB所在的平面为圆所在的平面,AC所在的平面为投射面,设为投影方向与投射面的夹角,利用sin =510=12,解得=30,即夹角是30.答案:30三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(15分)如图,圆柱被平面所截.已知AC是圆柱口在平面上最长的投影线段,BD是最短的投影线段,EG=FH,EFAB,垂足在圆柱的轴上
7、,EG和FH都是投影线,分别与平面交于点G,H.(1)比较EF,GH的大小;(2)若圆柱的底面半径为r,平面与母线的夹角为,求CD的长.解:(1)EG和FH都是投影线,EGFH.又EG=FH,四边形EFHG是平行四边形,EF=GH.(2)如图,过点D作DPAC于点P.则在RtCDP中,有sinDCP=DPCD,又DCP=,DP=2r,CD=2rsin.17.(15分)如图,已知P是椭圆上的任意一点,设F1PF2=,PF1F2=,PF2F1=,椭圆离心率为e.求证:e=sinsin+sin,并写出在双曲线中类似的结论.证明在PF1F2中,由正弦定理得PF1sin=PF2sin=F1F2sin,P
8、F1=F1F2sinsin,PF2=F1F2sinsin.由椭圆定义,2a=PF1+PF2=F1F2sinsin+sinsin=F1F2sin+sinsin,e=ca=2c2a=F1F2F1F2sin+sinsin=sinsin+sin.对于双曲线的离心率e有:e=ca=sin|sin-sin|.18.(15分)如图,已知圆锥的母线与轴线的夹角为,圆锥嵌入半径为R的Dandelin球,平面与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.分析转化到相应的平面中求解,注意切线长定理的使用.解:设F为抛物线的焦点,A为顶点,FA的延长线交准线m于点B,AF的延长线与PO交于点C.如图,连接OF,OA.平面与圆锥轴线和圆锥母线与轴线的夹角相等,APC=ACP=.由切线长定理知OA平分PAC,OAPC.OCA+OAC=90,AOF+OAC=90,OCA=AOF=.在RtOAF中,AF=OFtanAOF=Rtan .又由抛物线结构特点,知AF=AB.FB=2Rtan ,即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtan .