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1、1.1.3 集合的基本运算,第1课时 并集和交集,1.理解两个集合的并集和交集的含义,明确数学中的“或”“且”的含义. 2.知道符号“”与“”的区别,能借助Venn图或数轴求两个集合的交集和并集. 3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.,1.并集和交集的定义,名师点拨1.简单地说,集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集; 2.当集合A,B无公共元素时,它们的交集是空集; 3.在两个集合的并集中,属于集合A且属于集合B的元素只出现一次; 4.交集与并集的相同点是:由两个集合确定一个新的集合;不同点是:生成新集合的法则不同.,【做一做1-1】 设集合M=1,2,N
2、=2,3,则MN等于( ) A.1,2,2,3 B.2 C.1,2,3 D.1,3 答案:C 【做一做1-2】 若P=x|x1,Q=x|-1x4,则PQ= . 解析:如图,PQ=x|1x4. 答案:x|1x4,2.并集和交集的性质,【做一做2】 设集合A=7,a,B=-1,若AB=B,则a=_. 解析:因为AB=B,所以BA. 又-1B,则-1A.又A=7,a,则a=-1. 答案:-1,1.数学中的“且”与“或”的含义 剖析(1)数学中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“xA,且xB”表示元素x属于集合A同时属于集合B;(2)数学中的“或”与生活用语中的“或”的含
3、义不同,生活用语中的“或”是指“或此”与“或彼”只取其中之一,不能同时兼有;而数学中的“或”是指“或此”“或彼”“或此彼”,可同时兼有.“xA或xB”包含三种情况:xA,但xB;xB,但xA;xA,且xB.而生活中“小张或小李去办公室把作业本拿来”只包含两种情况:“小张去,而小李不去”;“小李去,而小张不去”,即仅其中一人去.,2.符号“”与“”的区别 剖析(1)“”是并集符号,MN表示集合M与N的并集,即集合M与N的全部元素组成的集合;“”是交集符号,MN表示集合M与N的交集,即集合M与N的公共元素组成的集合.(2)“”是并集,其结果中的元素不少于每个集合中的元素.而“”是交集,其结果中的元
4、素不多于每个集合中的元素.,3.用数轴表示数集 剖析:如果一个集合中的元素全部是实数,那么这个集合称为数集,可以用数轴表示部分数集,如下表所示:,归纳总结1.数轴上方的“线”下面的实数就是集合中的元素; 2.当端点不在集合中时,该实数用“空心圆圈”表示; 3.如果在同一条数轴上表示两个数集,那么在数轴上对应它们的竖线(垂直于数轴)高度要有所不同,否则容易混淆.例如,在同一条数轴上表示集合x|x2和x|1x3,应画成如图甲所示,比较恰当;若画成如图乙那样,则不易区分这两个集合.,题型一,题型二,题型三,题型四,两个集合的并集、交集运算 【例1】 (1)设集合A=x|x+10,B=x|-2x2,求
5、AB,AB. (2)设集合A=x|x2-7x+6=0,B=x|4x9,xN,求AB,AB. 分析:(1)先求出集合A,再把集合A,B表示在数轴上,根据数轴写出AB,AB. (2)首先明确集合A,B中的元素:集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是不等式4x9的自然数解集.直接观察或借助Venn图就可写出A与B的交集和并集.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(1)由题意知A=x|x-1,B=x|-2-2,AB=x|-1x2. (2)易知A=1,6,B=5,6,7,8,用Venn图表示集合A,B,如图所示,依据交集和并集的定义,观察可得AB=6,AB=1,5,6,7,8.,题型一
6、,题型二,题型三,题型四,反思当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,然后将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 (1)满足A-1,1=-1,0,1的集合A共有( ) A.2个 B.4个 C.8个 D.16个 (2)设集合A=x|-1x2,B=x|0x4,则AB
7、等于( ) A.x|0x2 B.x|1x2 C.x|0x4 D.x|1x4 解析:(1)由已知可得0A,所以A可以是0或-1,0或0,1或 -1,0,1,共4个.故选B. (2)在数轴上表示出集合A与B,如图. 则由交集的定义,得AB=x|0x2. 答案:(1)B (2)A,题型一,题型二,题型三,题型四,已知集合的交集、并集求参数 【例2】 已知A=x|2axa+3,B=x|x5. (1)若AB=,求a的取值范围; (2)若AB=R,求a的取值范围. 分析:借助于数轴来表示集合,由集合A,B的交、并集得出A,B间的关系,可列出关于a的不等式(组)求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,解:(
8、1)若A=,则2aa+3,即a3. 此时满足AB=. 若A,由AB=,可知集合A,B的关系如图所示,(2)由AB=R,可知集合A,B的关系如图所示,题型一,题型二,题型三,题型四,反思出现交集为空集的情形,首先考虑已知集合有没有可能为空集,然后在与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析法直观清晰,应重点考虑.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 已知集合A=x|20. 此时,又分两种情况:B在A的左边, B在A的右边,如图所示. 因为AB=,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)由A=x|2x4,AB=x|3x4, 如图,可知a=3,此时B=x|3x9,即a=3为所求.,题型一,
9、题型二,题型三,题型四,交集、并集性质的应用 【例3】 设集合A=-2,B=x|ax+1=0,若AB=B,求实数a的值. 分析:AB=BBA讨论集合B是否为空集列方程解得a的值 解:AB=B,BA.A=-2,B=或B.当B=时,即关于x的方程ax+1=0无实数解,此时a=0;,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在利用两个集合交集和并集的性质解题时,常借助交集、并集的定义以及集合间的关系去分析,如AB=AAB,AB=ABA等,解答时需要灵活处理.当题设中隐含有与空集有关的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引,遗漏了B=的情形.对于BA,当A时,则有B=和B两种情况需要讨论.,题型一,题型二
10、,题型三,题型四,【变式训练3】 已知集合A=x|0x3,B=x|xm.若AB=B,则实数m的取值范围是( ) A.m0 B.m0 C.m3 D.0m3 解析:AB=B,AB. 如图,在数轴上表示集合A与B,则由图可知当AB时,m0. 答案:B,题型一,题型二,题型三,题型四,易混易错题 易错点 AB=的含义 【例4】 已知集合A=x|x2+2x+2-p=0,B=x|x0,且AB=,求实数p满足的条件. 错解因为AB=,所以A=.所以关于x的方程x2+2x+2-p=0没有实数根. 所以=22-4(2-p)0,解得p1. 错因分析:当AB=时,若B,则A=或A,且A与B没有公共元素,错解忽视了A
11、,且A与B没有公共元素的情况,导致错误.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:由于AB=,且B, 则A=或A,且A与B没有公共元素. 当A=时,=22-4(2-p)0,解得p1; 当A,且A与B没有公共元素时, 设关于x的方程x2+2x+2-p=0有非正数解x1,x2, 解得1p2. 故实数p满足的条件是p1或1p2,即p2.,反思当AB=时,有以下四种情况:(1)A=,B=;(2)A,B=; (3)A=,B;(4)A,B,且A与B没有公共元素.当已知条件中出现AB=时,这四种情况都要考虑到,否则容易出错.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 已知集合A=x|-1x2,B=x|2axa+2,且(AB),求实数a的取值范围. 解:(AB),AB=. 当B=时,2aa+2,得a2;,解得a-3或1a2. 综上所述,a的取值范围是a-3或a1.,