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1、3.1.2 指数函数 1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象. 2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质. 3.利用计算工具,比较指数函数增长的差异. 12 1.指数函数的定义 函数y=ax(a0,a1,xR)叫做指数函数,其中x是自变量. 12 (2)指数函数解析式y=ax(a0,且a1)的特征: 底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x; 指数位置是自变量x,且x的系数是1; ax的系数是1. 一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数. 12 12 12 2.指数函数的图象和性质 12 名师点拨1.在指数函数f(x)=ax(a0,且a1)中,不论a取何值,
2、总有 f(0)=a0=1,所以其图象经过定点(0,1).在指数型函数y=kaf(x)+b中,令 f(x)=0,若得x=x0,则其图象经过定点(x0,k+b). 2.函数y=a|x|(a0,且a1)不是指数函数,但它与指数函数y=ax(a0, 且a1)有一定的联系,它的图象和性质如下表: 12 12 【做一做2-1】 函数y=2-x的图象是( ) 答案:B 【做一做2-2】 在函数y=ax-1+2 016(a0,且a1)中,无论a取何值 恒经过一个定点,则这个定点的坐标为 . 解析:函数y=ax的图象经过一个定点(0,1),在函数y=ax-1+2 015中, 令x-1=0,即x=1,得y=2 0
3、17,则定点坐标为(1,2 017). 答案:(1,2 017) 12 【做一做2-3】 (1)已知3x9,求实数x的取值范围; (2)已知0.2x+11,所以指数函数y=3x在R上为增函数. 由3x9=32,可得x2,即x的取值范围是2,+). (2)因为0-1. 所以x-2,即x的取值范围是(-2,+). 一、指数函数y=ax(a0,且a1)的函数值的变化规律 剖析:先从具体函数入手: 列表: 从上表中很容易发现:当x3x;当x0时,总有 2x0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得 快. 对于指数函数y=ax(a0,且a1),将底数a由2变为3,发现它们的图 象发生了显著变化,
4、在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x 轴. 归纳总结指数幂ax和1的比较: 当x0,a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当 不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”; 当x1或x0,a1”和“01时,x-,y0.当a1时,a的值越 大,图象随x增大递增的速度越快;当00,且a1),当a1时,x取何值,y1?x取何 值,01时,若x0,则y1;若x1;若x0,则00,且a1)的定义域主要分析f(x)的定 义域和值域. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 反思1.对于指数型函数y=af(x)(a0,且a1),其定义域就是函数f(x) 的定义域
5、,可按照求函数定义域的一般方法进行求解; 2.求指数型函数y=af(x)(a0,且a1)的值域时,通常采用逐步递推 的方法,先确定f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函 数的值域. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 解:(1)指数函数y=3.3x在R上为增函数.因为0.11,0.93.10.93.1. 当a1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3a2.5. 综上,当a1时,a1.3a2.5. 题型一题型二题型三题型四题型五 题型一题型二题型三题型四题型五 反思1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数
6、 的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然 后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引 进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要 尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断. 2.函数y=af(x)(a0,且a1)的单调性可按如下规则确定: (1)当a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同; (2)当01和00,且a1)的图象经过第一、三、四象限,试确 定a,b的取值范围. 分析:函数y=ax+b的图象是由y=ax的图象向上(b0)或向下(b1.当x=0时,y0, 即a0+b0,故b-1. 故a,b的取值范围分别是(1,+),(-,-1).