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1、-1- 第二章 变化率与导数 -2- 1 变化的快慢与变化率变化的快慢与变化率 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1.函数的平均变化率 函数y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为 f(x2).记x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1). (3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用:刻画函数值在区间x
2、1,x2上变化的快慢. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨对平均变化率的理解 (1)y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间x1,x2 上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间x1,x2上越“陡峭”, 反之亦然. (3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在 时间段t1,t2上的平均速度,即 (4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还 可以是0,比如常数函数,其函数
3、值的改变量就是0. (5)注意变量的对应,若x=x2-x1,则y=f(x2)-f(x1),而不是 y=f(x1)=f(x2). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 函数f(x)=x2在区间-1,3上的平均变化率是( ) 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2.瞬时变化率及瞬时速度 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设 x=x1-x0,y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是 而当
4、x趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬 时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢. 名师点拨1.瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平 均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢. 2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的 单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2 s末的瞬时速度为( ) A.-4.8 m/sB.-0.8 m/s C.0.88 m/sD.4.8 m/s 即
5、t=1.2 s时的瞬时速度为-4.8 m/s. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)对于常数函数y=a(a是常数),它的平均变化率为0. ( ) (2)若函数f(x)在区间x1,x2内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在 区间x1,x2上没有发生变化. ( ) (3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间x1,x2上的改变量x为 任意实数. ( ) (4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y
6、是f(x0+x)-f(x0). ( ) (5)瞬时速度是平均速度的极限值. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 平均变化率平均变化率 【例1】 求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率. (1)2,2.1;(2)2,2+x. 分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解. 解:(1)函数y=3x2+2在区间2,2.1上的平均变化率为 (2)函数y=3x2+2在区间2,2+x上的平均变化率为 反思感悟求函数平均变化率的步骤 第一步,求自变量的改变量x=x2-x1, 第
7、二步,求函数值的改变量y=f(x2)-f(x1). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间1,1+t内 相应的平均速度为( ) A.-3t-6B.-3t+6 C.3t-6D.3t+6 解析:质点在1,1+t内的平均变化率, 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 瞬时变化率瞬时变化率 【例2】 已知s(t)= gt2,
8、其中g=10 m/s2. (1)求t从3 s到3.1 s的平均速度; (2)求t从3 s到3.01 s的平均速度; (3)求t在t=3 s时的瞬时速度. 分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度. 解:(1)t=3.1-3=0.1 (s),t指时间改变量, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 (2)t=3.01-3=0.01 (s),t指时间改变量, (3)由瞬时速度的定义可知 当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJ
9、IANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤 (1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t); (2)由时间改变量t确定位移改变量s=s(t0+t)-s(t0); XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练2以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t秒时的高度为 s(t)=v0t- gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度. 因此物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANG
10、TANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 平均变化率的应用平均变化率的应用 【例3】 求函数y=x2在x0到x0+x之间的平均变化率,并结合图像 探讨当x取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点 及其含义. 分析:由题目可获取以下主要信息:已知函数的解析式;求该 函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义,解答本题时可 数形结合,根据定义求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 则函数图像越陡峭. 反思感悟函数的平均
11、变化率反映了函数图像上两点连线的斜率, 函数平均变化率的绝对值越大,斜率的绝对值越大,图像也越陡峭. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练3一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+1, 该质点在2,2+t(t0)上的平均速度不大于5,则t的取值范围是 . 解析:质点在2,2+t上的平均速度 又t0,t的取值范围是(0,1. 答案:(0,1 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究
12、二探究三思维辨析 因错用平均变化率公式而致误 【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,- 14),求该曲线在PQ段的平均变化率. 易错分析:在函数的平均变化率的求法公式中,y必须对应x,即 若x=x2-x1,则y=f(x2)-f(x1),若x=x1-x2,则y=f(x1)-f(x2). 解:x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14, x=x2-x1=2-1=1,y=y2-y1=-14-0=-14. 纠错心得在平均变化率的定义中,增量x的形式是多种多样的, 但不论x是哪种形式,y必须选择相对应的形式.如x=x0-(x0-x), 则y=f(x0)-f(x0-x
13、);x=(x0+h)-(x0-h),则y=f(x0+h)-f(x0-h). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m) 与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请计算 t0,0.5时的平均速度 及t1,2时的平均速度 . 解:当t0,0.5时,t=0.5-0=0.5 (s), h=(-4.90.52+6.50.5+10)-(-4.902+6.50+10)=2.025 (m), 当t1,2
14、时,t=2-1=1 (s), h=(-4.922+6.52+10)-(-4.9+6.5+10) =-8.2 (m), XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变化到1.1时,函数的平均变化率为 ( ) A.2.1B.1.1 C.2D.0 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 2.一物体的运动曲线为s=2t3,则其在第t=3秒时的瞬时速度是( ) A.6B.18C
15、.54 D.81 解析:由瞬时速度的定义可知s=2(t+t)3-2t3=2(3+t)3- 233=54t+18(t)2+2(t)3, 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 3.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,第二年婴儿体重的平均 变化率为 kg/月. 答案:0.25 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 4.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求常 数a的值. 解:质点M运动的平均速度为 瞬时速度为4a,即4a=8.a=2.