《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数 2.2 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020版数学新学案北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数 2.2 .pdf（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、-1- 2 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1.导数的概念 定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到 f(x1),函数值y关于x的平均变化率为 当x1趋于x0,即x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那 么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变 化率为函数y=f(x)在x0点的导数. 2
2、.函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为 . 解析:y=(1+x)2-1=2x+(x)2, 答案:2 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2.导数的几何意义 (1)割线的斜率. 已知f(x)图像上两点A(x0,f(x0),B(x0+x,f(x0+x),过A,B两点的割 线的斜率是 ,曲线割线的斜率就是函数的平均 变化率. (2)切线
3、的斜率. 当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为 直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当x0时,割线 AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 = 切线AD的斜率. (3)导数的几何意义. 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨曲线的切线与导数 (1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至 可以有无穷多.与曲线只有
4、一个公共点的直线也不一定是曲线的切 线. (2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切 线,且导数值是该切线的斜率. (3)曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为 . 则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页
5、思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数. ( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( ) (3)若f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与x轴垂直. ( ) (4)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的导数不存在,则在该点处的切 线也不存在. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 导数的定义导数的定义 【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的
6、位移函数为 y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数. 分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题. 函数y=t3+3在t1=4时的导数f(4)=48. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0); 可以简记为“一差,二比,三极限”. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XIN
7、ZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 导数的几何意义导数的几何意义 (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 分析:利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟求过曲线上一点的切线方程的步骤 (1)求斜率.求出曲线在点(x0,f(x0)处的导数,即切线的斜率. (2)写方程.用点斜式y-f(x0)=f(x0)(x-x0)写出切线
8、方程. (3)变形式.将点斜式化为一般式. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练2在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数) 过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则 a+b的值是 . 答案:-3 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 导数几何意义的综合应用导数几何意义的综合应用 【例3】 已知函数f(x)= 的图像上
9、一点A(4,f(4),O为坐标原点, 点B为曲线段OA上一动点,求AOB的面积的最大值. 分析:因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA 的距离最大时,AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过 点B作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟1.与导数的几何意义相关的题目大多
10、与解析几何有关, 如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题. 2.解决此类问题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求 斜率,已知斜率也可以求切点,切点坐标是常设的未知量. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练3求曲线y=f(x)= 和y=g(x)=x2在它们交点处的两条切 线与x轴所围成的三角形面积. 同理曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑
11、 首页 探究一探究二探究三思维辨析 所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 两条切线与x轴围成的三角形如图所示, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异 【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程. 易错分析:求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中 求过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决 此类问题的关键. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIAN
12、CE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 解:设曲线为y=f(x),其在点(x0,y0)处的导数为f(x0), 232-7=119, 点P(3,9)不在曲线y=f(x)上, 切线斜率k=4x0, 设切线方程为y-y0=4x0(x-x0), 即切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得1.求曲线在某点处的切线方程时,该点即为切点,可直接 求得斜率,写出切线
13、方程,此时切线有且只有一条. 2.求曲线过某点的切线方程时,不论该点是否在曲线上,都不一定 是切点,此时应设法求得切点坐标,再写出切线方程,此时切线可能 有一条或多条. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练变式训练求过点P(-1,0)的曲线y=x2+x+1的切线方程. 解:设曲线y=f(x)=x2+x+1上一点M(x0,y0), 则该点处的切线斜率 于是过点(x0,y0)的切线方程为y-y0=(2x0+1)(x-x0). 点(-1,0)在切线上, -y0=(-1-x0)(2x0+1
14、). 即切点为(0,1)或(-2,3). 则过点(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0; 过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.设函数f(x)=ax3+2,若f(-1)=3,则a=( ) a=1. 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 (1,f(1)处的切线斜率为( ) A.2B.-1C.1D.-2 答案:
15、B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.若函数f(x)在x0处的导数f(x0)= ,则函数f(x)在x0处的切线的倾斜 角为 . 即函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为60. 答案:60 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.曲线y=x2+6在点P处的切线斜率为4,则点P的坐标为 . 解析:设切点P坐标为(x0,y0), x0=2. 切点P的坐标为(2,10). 答案:(2,10) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 整理得(x0-1)2(2x0+1)=0, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 故过点P的切线方程为3x-3y-2=0或3x-12y+1=0.