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1、专题 15 计算题解题方法与技巧专题 15 计算题解题方法与技巧 1如图所示，C1、C2是两个平行板电容器，内部存在匀强电场，电容器C1的右侧存在匀强磁场，磁场 区域和C2的电场区域有着理想的边界初速度为零、带电荷量为q、质量为m的粒子在电容器C1中加速 之后，从小孔P进入匀强磁场区域，经磁场偏转后垂直于电场线方向进入电容器C2内部，最后击中极板上 的Q点，已知电容器C1两极板间电压为U，OPOQd，粒子的重力不计求： (1)磁场的磁感应强度大小； (2)电容器C2内部的电场强度大小 【答案】(1) (2) 2qUm qd 4U d (2)带电粒子在电容器C2中偏转，做类平抛运动，设经时间t到
2、达Q点由平抛运动规律有 dvt(1 分) dat2(1 分) 1 2 又qEma(2 分) 联立解得E(2 分) 4U d 2“弹射车”因为其安装简单，可玩性高，广受孩子们的欢迎，其装置如图甲所示，按下按钮后玩具 车被弹簧弹出，可以在固定的赛道上飞驰某赛道可以简化为图乙所示的模型，玩具车从A点被弹出后， 恰好到达竖直方向圆形轨道最高点C，驶过圆形轨道后经过长为x的粗糙水平轨道BD后，进入斜面DE，DE 与水平方向夹角53，最终停在E点(未画出)已知A、C、E三个点高度相同，玩具车在粗糙轨道BD 和DE上受到的阻力为其正压力的 0.1，即阻力系数0.1，其他阻力不计，已知玩具车质量为 0.1 k
3、g， 圆形轨道半径r0.4 m，斜面与水平轨道间用长度不计的光滑圆弧连接，玩具车可视为质点，sin 53 0.8，重力加速度g10 m/s2. (1)求弹簧的弹性势能Ep； (2)求BD长度x； (3)若斜面DE与水平面夹角可以调节，要使玩具车返回圆形轨道时不脱离轨道，求需满足的条 件(可使用三角函数的值表示) 【答案】(1)0.2 J (2)1.4 m (3)tan 7 16 【解析】(1)玩具车恰好通过最高点C，即在C点只受到重力，重力提供向心力有mgm(2 分) v2 C r 玩具车由A点运动到C点只有重力做功，由机械能守恒定律有EpmghAmvmghC(3 分) 1 2 2C hAhC
4、 联立解得Ep0.2 J(2 分) (3)设改变夹角后玩具车能到达斜面的最高点F，D点与F点间的长度为l，从C点到最高点F由 动能定理有 0mvmg(2rlsin)mgxmglcos(3 分) 1 2 2C 当玩具车返回B 点恰好不脱离轨道时，小车到达B点左侧与半径等高处G点时速度为 0，F点到G点由 动能定理有 mg(lsinr)mgxmglcos00(3 分) 联立解得 tan(2 分) 7 16 3如图甲所示，有一质量为M1.0 kg 的薄板AB置于水平地面上，薄板AB的上表面由两种不同材料 拼接而成，左侧部分光滑，右侧部分粗糙，下表面与水平地面间的动摩擦因数10.1.现让一质量m1.0
5、 kg、 初速度v03 m/s 的小物块(可视为质点)， 从薄板AB的上表面左端水平滑上薄板， 刚好没有从右端滑出， 小物块在薄板AB上滑动的速度时间图象如图乙所示，小物块与薄板AB粗糙部分间的动摩擦因数2 0.25，g取 10 m/s2.求： (1)薄板AB上表面光滑部分的长度和粗糙部分的长度； (2)要使小物块在最短时间滑过薄板AB， 薄板AB下表面与水平地面间的动摩擦因数最小是多大？(其他 条件不变，认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等) 【答案】(1)0.6 m 1.5 m (2)0.125 (2)要使小物块在最短时间滑过薄板AB，即要求薄板AB不动，则 2mg1(Mm)g(2 分)
6、解得10.125(2 分) 4 在竖直的xOy平面内， 第、 象限均存在相互正交的匀强电场和匀强磁场， 第象限内电场沿y 方向，磁场垂直xOy平面向外，第象限内电场沿x方向，磁场垂直xOy平面向里，电场强度大小均为E， 磁感应强度大小均为B，A、B两小球带等量异种电荷，带电荷量大小均为q，两球中间夹一被压缩的长度不 计的绝缘轻弹簧(不粘连)，某时刻在原点O处同时释放AB，AB瞬间被弹开之后，A沿圆弧OM运动，B沿直 线OP运动，OP与x轴夹角37，如图中虚线所示，不计两球间库仑力的影响，已知重力加速度为g， sin370.6，cos370.8.试求： (1)A、B两球的质量比； mA mB (
7、2)A球出射点M离O点的距离 【答案】(1) (2) (3) mA mB 3 4 8E2 3B2g 350E3q 81B2g (2)对B球受力分析，知：Bqv2sinEq(1 分) 得B球速度v2(1 分) 5E 3B AB弹开瞬间，动量守恒mAv1mBv2(2 分) 解以上各式得，A球速度v1(1 分) 20E 9B A做圆周运动，Bqv1(2 分) mAv2 1 R 轨道半径R(2 分) mAv1 Bq 20E2 9B2g 所以OM2Rsin.(2 分) 8E2 3B2g (3)弹开瞬间，由能量守恒可知E弹mAvmBv(2 分) 1 2 2 1 1 2 2 2 代入得：E弹.(1 分) 3
8、50E3q 81B2g 5中国第一列从义乌开往英国伦敦的列车顺利抵达终点站。途径著名的英吉利海峡隧道。英吉利海峡 隧道近似直线隧道， 全长约 50 km。 如图 1 所示， 其中海底隧道BC长 40 km， 前后各有 5 km 的连接隧道AB、CD。 已知进入隧道前，列车时速 144 km/h，在连接隧道上做匀变速直线运动，进入海底隧道时速度减为 108 km/h，并在海底隧道中做匀速直线运动，最终离开英吉利海峡隧道时速度恢复为 144 km/h。 图 1 (1)求列车在连接隧道AB上运动的加速度大小？ (2)若列车总质量 9105 kg，所受阻力恒为车重的 0.1 倍，求在连接隧道CD上列车
9、牵引力的大小？ (3)求列车通过英吉利海峡隧道AD的时间？ 【答案】(1)0.07 m/s2 (2)9.63105 N (3)0.450 h (3)全程可分为三段，根据速度时间关系可得 t1t3 s142.86 s v a1 4030 0.07 t21 333.33 s x2 v 总时间为tt1t2t31 619.05 s0.450 h。 6过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，在乘坐过山车的过程中不仅能够体验到冒险的快感，还有助 于理解物理原理，如图 2 所示，是某大型游乐场中过山车的部分轨道示意图，这部分轨道由直线轨道AB、 半径R150 m圆心角1120的圆弧轨道BCD、 半径R210 m圆
10、心角2240的圆弧轨道DEF、 半径为R1 50 m 圆心角3120的圆弧轨道FGP、半径为R3圆心角为4120的圆弧轨道PQM组成，这些轨道均 平滑相切连接，相切点B、F、D、P、M均位于同一水平面上，假设这些轨道均位于同一竖直平面内，车厢 在运动过程中受到的摩擦阻力与空气阻力之和恒为车重的 0.1 倍，车厢可视为质点，重力加速度g10 m/s2, 3, 1.732。现有一节质量m500 kg 的车厢从A点静止下滑，经过最低点C时测得车厢对轨3 道的压力为 16 000 N。(由于安全设计的需要，过山车在运动过程中是不会脱离轨道的) 图 2 (1)求车厢经过轨道最低点C时的速度为多大； (2
11、)求直线轨道AB的长度l为多长； (3)若要保证车厢通过圆弧轨道PQM的最高点Q时对轨道有向下的压力，求R3的取值范围。 【答案】(1)10 m/s (2)45.7 m11 (3)10 m0 这时R310 m。 综上所述求得 10 m3L的区域内有一方向垂直于xOy平面向外的匀强 磁场。某时刻，一带正电的粒子从坐标原点以沿x轴正方向的初速度v0进入电场；之后的另一时刻，一带 负电粒子以同样的初速度从坐标原点进入电场。带正、负电的两粒子从电场进入磁场时速度方向与电场和 磁场边界的夹角分别为 60和 30，两粒子在磁场中分别运动半周后在某点相遇。已知两粒子的重力以及 两粒子之间的相互作用都可忽略不
12、计，两粒子带电荷量大小相等，求： 图 3 (1)带正、负电的两粒子的质量之比m1m2； (2)两粒子相遇的位置P点的坐标； (3)两粒子先后进入电场的时间差。 【答案】(1)31 (2) (3) ( 13 2 L，7 3 3 L) 7 3 L 6v0 (2)粒子在电场中沿y轴方向的位移为 y 1 2 Eq m ( 2L v0) 2 qE m 2L v0 L v0 1 2 qE m( L v0) 2 7qEL2 2mv 即y1L，y2L 73 6 73 2 如图所示，由几何关系可得，P点的横坐标为 xP3L(y1y2)sin 30sin 60L 13 2 P点的纵坐标为 yPy2(y1y2)si
13、n 30cos 60L 73 3 16.如图 4 所示， 在空间xOy的第一象限内存在一沿x轴方向， 大小为E的匀强电场。 现有一质量为m， 电荷量为q的带电微粒(重力不计)，在A(L，L)点无初速度释放，通过Y轴上的P点进入第二象限，在第 二象限内存在沿y轴方向匀强电场，带电微粒最终从C(0，2L)点离开第二象限。 图 4 (1)则第二象限内场强大小？带电微粒从C点离开的速度是多少？ (2)若第二象限内仅存在沿垂直纸面的匀强磁场，使带电微粒仍从C(0，2L)点离开，则磁感应强度大 小？ (3)若改变带电微粒释放点的位置从P点进入磁场，在第二象限有垂直纸面的圆形匀强磁场，使得粒子 从C点离开的
14、速度与只在电场时完全相同，则第二象限内圆形匀强磁场的磁感应强度是多少？圆形匀强磁 场的面积是多少？ 【答案】(1)E (2) 2mEql m 22mEqL 5qL (3) L2 2（21）qmLE qL 【解析】(1)粒子运动轨迹如图所示。 (2)做圆周运动到达C点，如图所示。 半径满足R24L2(RL)2 解得R2.5L 根据洛伦兹力提供向心力qBvPmv R 可得B。 22EqmL 5qL (3)因在磁场中速度大小不变，故改变带电微粒释放点的位置到P点时速度已经达到vPvC2 EqmL m 要使磁感应强度B最小，则半径最大，如图所示。 17如图 1 所示，在水平平台上有一质量m0.1 kg
15、 的小球压缩轻质弹簧(小球与弹簧不拴连)至A点， 平台的B端连接两个半径都为R0.2 m，且内壁都光滑的二分之一细圆管BC及CD，圆管内径略大于小球直 径，B点和D点都与水平面相切。 在地面的E点安装了一个可改变倾角的长斜面EF， 已知地面DE长度为 1. 5 m，且小球与地面之间的动摩擦因数10.3，小球与可动斜面EF间的动摩擦因数2。现释放小球， 3 3 小球弹出后进入细圆管，运动到D点时速度大小为 5 m/s，求： 图 1 (1)小球经过D点时对管壁的作用力； (2)小球经过E点时的速度大小； (3)当斜面EF与地面的倾角(在 090范围内)为何值时，小球沿斜面上滑的长度最短(小球经过E
16、 点时速度大小不变)？并求出最短长度。 【答案】(1)13.5 N，方向竖直向下 (2)4 m/s (3)0.69 m 【解析】(1)小球运动到D点时，根据牛顿第二定律 FNmgmv R 解得FN13.5 N 由牛顿第三定律，小球对管壁的作用力为 13.5 N，方向竖直向下。 18如图 2 所示为一极限滑板运动的场地图，AB和CD 为一竖直平面光滑轨道，其中BC水平，A 点高 出BC5 米，CD是半径为 R4 m 的 圆轨道，BC长 2 米，一质量为 60 千克的运动员(包含滑板)从 A 点静止 1 4 滑下，经过BC后滑到高出D点 0.5 米位置速度为零。求：(g10 m/s2) 图 2 (
17、1)滑板与 BC 轨道间的动摩擦因数； (2)运动员第 3 次经过 C 点对轨道的压力大小； (3)现有另一下滑轨道， AB 与 AB 轨道相同，CD轨道换成半径r1.5 米的半圆轨道CD，运动 员从AB轨道某位置静止滑下，则该运动员能否经D点落到B点，若能，求出该位置，若不能，说明 理由。 【答案】(1)0.25 (2)1 650 N (3)见解析 【解析】(1)全过程由动能定理得WGWf0， 即mghmg0BC 解得0.25。 19如图 3 所示，光滑的水平面AB与半径R0.4 m 的光滑竖直半圆轨道BCD在B点相切，D点为半圆 轨道最高点，A点的右侧连接一粗糙的水平面。用细线连接甲、乙两
18、物体，中间夹一轻质压缩弹簧，弹簧与 甲、乙两物体不拴接，甲的质量m14 kg，乙的质量m25 kg，甲、乙均静止。若固定乙，烧断细线，甲离 开弹簧后经过B点进入半圆轨道，过D点时对轨道的压力恰好为零。取g10 m/s2，甲、乙两物体可看作质 点，求： 图 3 (1)甲离开弹簧后经过B点时的速度的大小vB； (2)弹簧被压缩具有的弹性势能； (3)在弹簧压缩量相同的情况下， 若固定甲， 烧断细线， 乙物体离开弹簧后从A点进入动摩擦因数0. 4 的粗糙水平面，则乙物体在粗糙水平面运动的位移x。 【答案】(1)2 m/s (2)40 J (3)2 m5 【解析】(1)甲在最高点D，由牛顿第二定律，有
19、 m1gm1v R 甲离开弹簧运动至D点的过程中机械能守恒 m1vm1g2Rm1v 1 2 2B 1 2 2D 联立解得vB2 m/s。5 (2)Epm1v40 J 1 2 2B 20 人们为了探索月球表面的物理环境， 在地球上制造了月球探测车。 假设， 月球探测车质量为 2.0102 kg，在充满电的情况下，探测车在地球上水平路面最大的运动距离为 1.0103 m，探测车运动时受到地表的 阻力为车重的 0.5 倍，且探测车能以恒定功率 1.6103 W 运动(空气阻力不计)。登月后，探测车在一段水 平路面上以相同的恒定功率从静止起动，经过 50 s 达到最大速度，最大速度值为 12 m/s，
20、此时发现在探测 车正前方 6.9103 m 处有一凸起的小高坡， 坡顶高为 24 m。 已知地球表面的重力加速度为g10 m/s2， 月球 表面重力加速度为地球的六分之一，试求： (1)月球探测车电板充满电后的总电能； (2)月球表面水平路面对探测车的阻力与车重的比例系数； (3)假设探测车在爬上小高坡过程中需要克服摩擦阻力做功 1.2104 J，请分析判断探测车能否爬到坡 顶。 【答案】(1)106 J (2)0.4 (3)见解析 【解析】(1)总电能Ekmgl0.52.0102101.0103 J106 J (2)在月球上Pkmgv，可得k0.4 (3)达到最大速度时，月球车剩下的电能 E
21、0EPt9.2105 J 达到最大速度时，月球车可用能量为 E1EPtmv9.344105 J 1 2 2 m 月球车从此处到达小高坡顶端需要的最小能量 E2kmgxmghW克f E29.4105 J 由于E1E2，故月球车所剩电能不足以支持车子爬上小高坡。 21 如图1所示， 两根平行且足够长的粗糙金属导轨， 间距L0.5 m， 所在平面与水平面的夹角53， 导轨间接有一阻值R2 的电阻，导轨电阻忽略不计。在两平行虚线间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁 场， 磁感应强度大小B1 T。 导体棒a的质量m10.1 kg， 接入电路的电阻R11 ； 导体棒b的质量m20. 2 kg， 接入电路的电阻
22、R2 2 ， 它们均垂直导轨放置并始终与导轨接触良好， 与导轨间的动摩擦因数均为 0.5。现从图中的M、N处同时将导体棒a、b由静止释放，运动过程中它们均匀速穿过磁场区域，且当导 体棒a刚出磁场时导体棒b恰好进入磁场。导体棒a、b电流间的相互作用忽略不计，sin 530.8，cos 530.6，g取 10 m/s2。求： 图 1 (1)导体棒a刚进入磁场时，流过电阻R的电流大小； (2)导体棒a在磁场中匀速运动的速度大小； (3)导体棒a、b穿过磁场区域的过程中，流经电阻R的电荷量。 【答案】(1)0.5 A (2)4 m/s (3)1 C (2)导体棒a在磁场中匀速运动时，有 E1BLv1
23、I1 E1 R总 R总R12 R2R R2R 解得v14 m/s。 (3)设导体棒b在磁场中匀速运动的速度为v2，则 m2gsin m2gcos BI2L0 E2BLv2，I2，R总R2 E2 R总 R1R R1R 8 3 解得I22 A v2 m/s 32 3 22如图 2 甲，两条足够长、间距为d的平行光滑非金属直轨道MN、PQ与水平面成角，EF上方存 在垂直导轨平面的如图乙所示的磁场， 磁感应强度在 0T时间内按余弦规律变化(周期为T、 最大值为B0)，T 时刻后稳定为B0。t0 时刻，正方形金属框ABCD在平行导轨向上的恒定外力作用下静止于导轨上。T时刻 撤去外力，框将沿导轨下滑，金属
24、框在CD边、AB边经过EF时的速度分别为v1和v2。已知金属框质量为m、 边长为d、每条边电阻为R，余弦磁场变化产生的正弦交流电最大值Em ，求： 2B0d2 T 图 2 (1)CD边刚过EF时，A、B两点间的电势差； (2)撤去外力到AB边刚过EF的总时间； (3)从 0 时刻到AB边刚过EF的过程中产生的焦耳热。 【答案】见解析 【解析】(1)EB0dv1、由楞次定律知A点电势低于B点， 故UABE，即UABB0dv1 3 4 3 4 (2)mgtsin B0dqmv2mv0 qB 0d2 4R 故t v2 gsin Bd3 4mgRsin 23如图 3 所示，两条相距l的光滑平行金属导轨
25、位于同一竖直面(纸面)内，其上端接一阻值为R的 电阻；在两导轨间OO下方区域内有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现使电阻为r、质量 为m的金属棒ab由静止开始自OO位置释放， 向下运动距离d后速度不再变化(棒ab与导轨始终保持良好 的电接触且下落过程中始终保持水平，导轨电阻不计)。 图 3 (1)求棒ab在向下运动距离d过程中回路产生的总焦耳热； (2)棒ab从静止释放经过时间t0下降了 ，求此时刻的速度大小； d 2 (3)如图 4 在OO上方区域加一面积为S的垂直于纸面向里的均匀磁场B，棒ab由静止开始自OO 上方某一高度处释放，自棒ab运动到OO位置开始计时，B随时间t的变化
26、关系Bkt，式中k为已 知常量；棒ab以速度v0进入OO下方磁场后立即施加一竖直外力使其保持匀速运动。求在t时刻穿过回 路的总磁通量和电阻R的电功率。 图 4 【答案】(1)mgd (2)gt m3g2（Rr）2 2B4l4 B2L2d 2m（Rr） (3)Blv0kS R ( Blv0kS Rr ) 2 24.如图 5 所示，ab棒垂直放置于光滑导轨上电阻为 2 ，导轨平行间距为L1 m，ab棒置于磁场强 度为B2的匀强磁场中，B2的大小为 2 T 方向未知， 导轨左端接有电容器C10 F 和电阻R2 的电阻，ab 棒、cd棒的质量均为 1 kg，电阻均为 2 ，CD棒处于磁场强度为B12 T 垂直于纸面向里的匀强磁场中， 导 轨及其它电阻不计，ab棒受外力开始向右运动过程中， 图 5 求：(1)当cd棒速度最大为vm2 m/s 时，则ab棒的瞬时速度大小为多少？磁场强度B2的方向如何？ (2)在(1)的情况下，当ab棒速度瞬间增大到 10 m/s 时，此时cd棒的瞬时加速度为多少？此时电容器 的电荷量为多少？ 【答案】(1) 10 m/s B2磁场方向向上 (2)2 m/s2 8105 C