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1、第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 2019 考纲考题考情 1角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。 (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。 (3)若与是终边相同的角， 则用表示为2k， k Z。 2弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。 (2)角 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的 弧度数的绝对值是| 。 l r (3)角度与弧度的换算 1rad；1 rad。 180 ( 180 ) (4)弧长、扇形面积
2、的公式 设扇形的弧长为 l， 圆心角大小为 (rad)， 半径为 r， 则 l|r， 扇形的面积为 S lr |r2。 1 2 1 2 3任意角的三角函数 (1)定义 ： 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么 siny，cosx，tan (x0)。 y x (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。 正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起 点都是点(1,0)。如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做角 的 正弦线，余弦线和正切线。 1区分两个概念 (1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。 (2)不相等的角未必终边不相同
3、，终边相同的角也未必相等。 2一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四 余弦。 3三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角 终边上任意一点且不与原点重合，r |OP|，则 sin ，cos ，tan 。 y r x r y x 一、走进教材 1(必修 4P10A 组 T7改编)角225_弧度，这个 角在第_象限。 答案 二 5 4 2(必修 4P15练习 T2改编)设角 的终边经过点 P(4，3)， 那么 2cossin_。 解析 由已知并结合三角函数的定义， 得 sin ， cos 3 5 ，所以 2cossin2 。 4 5 4 5 ( 3 5) 11 5 答案 1
4、1 5 3(必修 4P10A 组 T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所 对的圆心角大小为_弧度。 答案 3 二、走近高考 4(2018北京高考)在平面直角坐标系中， ， ， ，是 AB CD EF GH 圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边， OP 为终边。 若 tan0，所以 P 所在的圆弧是。故选 C。 EF 答案 C 三、走出误区 微提醒：终边相同的角理解出错；三角函数符号记忆不 准；求三角函数值不考虑终边所在象限。 5下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( ) 9 4 A2k45(kZ) Bk360 (kZ) 9 4 Ck360315(kZ
5、) Dk(kZ) 5 4 解析 与的终边相同的角可以写成 2k(kZ)，但是 9 4 9 4 角度制与弧度制不能混用，所以只有 C 正确。故选 C。 答案 C 6若 sin0，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析 由 sin0 知 的终边在第一或第三象限，故 是第 三象限角。故选 C。 答案 C 7已知角 的终边在直线 yx 上，且 cos0且a1)的图象过定 点 P，且角 的终边过点 P，则 sincos 的值为( ) A B 7 5 6 5 C D 5 5 3 5 5 (2)已知角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos，则 5 13 _。 1 sin
6、 1 tan 解析 (1)因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点 P(4,2)， 且角 的终边过点 P， 所以 x4， y2， r2， 所以 sin，5 5 5 cos，所以 sincos。故选 D。 25 5 5 5 25 5 3 5 5 (2)因为角 的终边经过点 P(x，6)，且 cos，所 5 13 以 cos，即 x 。所以 P。， x x236 5 13 5 2 ( 5 2，6) 13 2 所以 sin。 所以 tan， 则 12 13 sin cos 12 5 1 sin 1 tan 13 12 5 12 。 2 3 答案 (1)D (2)2 3 三角函数定义主要应用于两方
7、面 1已知角的终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点 的距离，然后用三角函数定义求解三角函数值。特别地，若角 的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。 2 已知角 的某个三角函数值， 可依据三角函数值设出角 终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题。 方向 2：三角函数值的符号 【例 4】 (1)使 lg(sincos)有意义的 为( )cos A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (2)若角 的终边落在直线 yx 上，则 sin |cos| |sin| cos _。 解析 (1)由题意知sincos0且cos0， 由sincos0， 知 为第一、 三象限角， 又由
8、cos0， 即 cos0 知 为第二、 三象限角或 在 x 轴的非正半轴上，所以可知 为第三象限角。 故选 C。 (2)因为角 的终边落在直线 yx 上，所以角 的终边位 于第二或第四象限。 当角的终边位于第二象限时， sin |cos| |sin| cos 0；当角 的终边位于第四象限时， sin cos sin cos sin |cos| 0。所以0。 |sin| cos sin cos sin cos sin |cos| |sin| cos 答案 (1)C (2)0 要判定三角函数值的符号， 关键是要搞清三角函数中的角是 第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符 号。如果
9、角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解。 方向 3：三角函数线的应用 【例 5】 函数 ylg(2sinx1)的定义域为12cosx _。 解析 要使原函数有意义，必须有：Error!Error!即Error!Error!如图， 在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 Error!Error!。 答案 Error!Error! 三角函数线的应用问题的求解思路 确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线， 然后求解。 【题点对应练】 1 (方向 1)已知角 的顶点与原点 O 重合， 始边与 x 轴的非 负半轴重合，P(m，2m)(m0)是角 终边上的一点，则 tan
10、 的值为( ) ( 4) A3 B1 3 C D3 1 3 解析 因为 P(m，2m)(m0)是角 终边上的一点，所以 tan2。 所以 tan 。 ( 4) tantan 4 1tantan 4 21 12 1 1 3 故选 C。 答案 C 2(方向 2)已知点 P(tan，cos)在第三象限，则角 的终边 在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 由题意知 tanOMMP， 故有 sin0，若 myA2yB的最大值为 3， 则 m_。 解析 设xOA， 由三角函数的定义， 得 yAsin， yBsin ，则 myA2yBmsin2sin(m1)sin ( 3) ( 3) 3 cos，其最大值为3，又 m0，所以 m1。 m1236 答案 16