《备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第10单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学（理）： 第10单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷 Word版含答案.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 10 单元单元 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小
2、题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是， 那么1,0,1=a0,1,1b 这条斜线与平面所成的角是（ ） A90B30C45D60 2平面 经过三点，则平面 的法向量可以是（ ） ABCD 3若直线 的方向向量为，平面 的法向量为，则（ ）1, 2,3a3,6, 9 n ABCD 与相交llll 4如图，在平行六面体中， 为的中点，设，AB aAD b 1 AA c 则（ ）CE ABCD 1 2 abc 1 2 abc 1 2 abc 1
3、2 abc 5 在长方体中， 点为的中点， 则异面直线 1111 ABCDABC D4AB 1 2ADAAP 1 CCAP 与所成角的正切值为（ ） 11 C D ABCD 5 4 3 4 2 4 1 4 6正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） 1111 ABCDABC D 1 AB 11 ABC D ABCD 1 2 2 2 3 3 3 2 7对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且有，, ,OPxOAyOBzOC x y zR 则，是四点共面的（ ） A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 8 已知二面角， 其中平面 的一个法向量， 平面 的一个法向
4、量，1,0, 1m0, 1,1n 则二面角的大小可能为（ ） ABC或D 9已知在平行六面体中， ，则的长为（ ） ABCD 10 如图， 已知矩形与矩形全等， 二面角为直二面角，为中点，与 所成角为 ，且，则（ ） 3 cos 9 AB BC 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A1BCD2 2 2 1 2 11在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，2 21A， ，2 21B， ， ，则该四面体外接球的表面积是（ ） ABCD 12如图，四边形，现将沿折起，当二面角 的大小在时，直线和所成角为 ，则的最大值为（ ） 2 , 33 ABCD 2 26 8 62 2 4
5、 2 26 8 2 26 4 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于4,2,3A 1 A 1 AxOz 2 A 2 Az 轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_ 3 A 3 AAM 14在直三棱柱中，则异面直线与 所成角的余弦值为_ 15如图，在正方体中， 、 分别为的中点，则平面和平面 所成二面角的正弦值为_ 16将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边， 那么下面说法正确的是_ （1）平面平面；（2）四面体的体积是； （3）二面角的正切值是；（4）与平面所成角的正弦值是，
6、42 3 21 14 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点， 1111 ABCDABC D,M E 111 ,BC CC 1 2,2ABAA （1）证明：平面平面； 1 D EM ABE （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 11 AB DABE 18 （12 分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于EABO,A BABCD 半圆所在的平面，且，O2AB 3AD （1）求证：平面平面；EAD EBC
7、（2）若的长度为，求二面角的正弦值 EB 3 ADEC 19 （12 分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，ABCDEFABCD 4 3 3 60BCD 与交于点，平面平面，ACBDOFBC ABCDEFABFBFC 2 3 3 EF （1）求证：平面；OE ABCD （2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值FBCQAEQBCA 20 （12 分）已知四棱锥的底面是菱形，底面， 是上 3 ABC 的任意一点 （1）求证：平面平面； （2） 设， 是否存在点 使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在， 求出点 的位置，如果不存在，请说明理由 21 （12 分）如图所示，等腰梯
8、形 ABCD 中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E 为 CD 中点， AE 与 BD 交于点 O，将ADE 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置（P平面 ABCE） （1）证明：平面 POB平面 ABCE； （2）若直线 PB 与平面 ABCE 所成的角为，求二面角的余弦值 4 APEC 22 （12 分）如图，已知四棱锥的底面为边长为 的菱形，为 3 BADPAPBM， 中点，连接 （1）求证：平面平面； （2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积 5 5 单元训练金卷高三数学卷（A） 第第 10 单元单元 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用
9、答答 案案 第卷第卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 【答案】D 【解析】， 11 cos, 222 a b 又由题意知，答案 D,0 ,90a b,60 a b 2 【答案】D 【解析】设平面 的法向量为，n 对于 A 选项，故 A 选项错误；对于 B 选项，故 B 选项错误；2OA n2OB n 对于 C 选项，故 C 选项错误；对于 D 选项，由于，2OB n0OA n0OB n 故 D 选项符合题意所以本题选 D 3 【答
10、案】C 【解析】直线 l 的方向向量为，平面 的法向量为，1, 2,3a3,6, 9 n ，故选 C 1 3 anan 4 【答案】A 【解析】根据向量的三角形法则得到 故选 A 11 11 22 CEAEACAAAEABBC cbababc 5 【答案】A 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，DDAxDCy 1 DDz 则，2,0,0A0,4,1P 1 0,4,2C 1 0,0,2D2,4,1AP 11 0, 4,0C D 设异面直线与所成角为，AP 11 C D 则， 11 11 164 cos 21 421 AP C D APC D 165 sin1 2121 ，异面
11、直线与所成角正切值为，故选 A sin5 tan cos4 AP 11 C D 5 4 6 【答案】A 【解析】如图，以点为坐标原点，以，方向分别为轴，轴，轴，DDADC 1 DDxyz 建立空间直角坐标系， 设棱长 2，则，(2,0,0)A 1 (2,2,2)B 1(2,0,2) A(0,0,0)D 所以， 1 (0,2,2)AB 1 (2,0,2)DA 因为在正方体中，平面，所以， 11 DAADAB 11 ADD A 1 ABDA 又，所以平面， 1 ADABA 1 DA 11 ABC D 因此向量为平面的一个法向量， 1 DA 11 ABC D 设直线与平面所成的角为， 1 AB 11
12、 ABC D 则故选 A 11 11 11 41 sincos, 22 22 2 AB DA AB DA AB DA 7 【答案】B 【解析】空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且，, ,OPxOAyOBzOC x y zR 则四点共面等价于， 若，则，所以四点共面， 若四点共面，则，不能得到， 所以，是四点共面的充分不必要条件，故选 B 8 【答案】C 【解析】，1,0, 1m0, 1,1n 设与之间的夹角为 ，mn 11 cos= 222 m n mn ， 二面角的大小可能为和 9 【答案】D 【解析】在平行六面体中， ， ，ACABADAA 2 2222 222ACABADAAABA
13、DAAAB ADAB AAAD AA ， 则，故选 D53AC 10 【答案】C 【解析】以 A 为原点，AF 为 x 轴，AB 为 y 轴，AD 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AB2a，BC2b，则 F（2b，0，0） ，M（0，a，0） ，B（0，2a，0） ，D（0，0，2b） ， （2b，a，0） ，（0，2a，2b） ， FM 与 BD 所成角为 ，且， 3 cos 9 ， 2 2222 , 23 cos 9 444 FM BD a FM BD FMBDabab 整理得， 2244 54260a bba 42 26540 aa bb 解得，或（舍） ，故选 C 2 1 2 a
14、 b 2 4 13 a b 2 2 ABa BCb 11 【答案】B 【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点， 可得面， 因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径， 222 222 3 2 R 所以外接球的表面积为，故选 B 项 12 【答案】C 【解析】取 BD 中点 O，连结 AO，CO， ABBDDA4BCCD，COBD，AOBD，且 CO2，AO， AOC 是二面角的平面角，ABDC 以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，过点 O 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（0，2，0） ，C（2，0，0） ，D（0，2，0） ， 设二面角的平面角为
15、 ，则，ABDC 2 , 33 连 AO、BO，则AOC， 2 3cos ,0,2 3sinA ， 2 3cos ,2,2 3sinBA 2,2,0CD 设 AB、CD 的夹角为 ，则， 13cos cos 2 2 AB CD AB CD ， 2 , 33 1 1 cos, 2 2 3 13cos0,1 2 cos 的最大值为故选 C 2 26 8 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】4,0,0 【解析】点关于坐标原点的对称点 A1的坐标为，点关于 xOz4,2,3A 4, 2, 3 1 423A， ， 平面的对称点A2的坐
16、标为， 点关于z轴的对称点A3的坐标为， 4 23， ， 2 4 23A， ，423， ， 线段 AA3的中点 M 的坐标为4,0,0 14 【答案】 16 25 【解析】因为，所以角 为直角， 又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直， 以 点为坐标原点，以方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为 ， 则故答案为 11 11 11 4 416 coscos 259 169 16 AC BC AC BC AC BC ， 16 25 15 【答案】 2 2 3 【解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立
17、空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 2， 则 E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)， ，1,0,1EF 1,2,0EB 设平面 EFC1B 的法向量，则，, ,x y zn 0 20 EFxz EBxy n n 取，得，2, 1,2n 平面 BCC1的法向量，0,1,0m 设平面 EFC1B 和平面 BCC1所成二面角为 ，则， 1 cos 3 n m nm 所以，故填 2 2 sin 3 2 2 3 16 【答案】 （3） （4） 【解析】画出图像如下图所示， 由图可知（1）的判断显然错误； 由于， 故是二面角的平面角且平面， 故 过 作交的延长线于 ，由
18、于，故是三棱锥的高 在原图中， 36 2 3 AB AC AD BC 321BD 622CD ， 33 sin601 22 BEBD 所以，故（2）错误； 11136 22 32626 D ABCB ACD VVAD CDBE 以 为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系,DA DC Dz ， 2,0,0A 13 0, 22 B 0,2,0C 13 2, 22 AB 2,2,0AC 设平面的法向量为，则，, ,x y zn 13 20 22 220 ABxyz ACxy n n 令，则，即 5 6 2 3 yz， 5 6 2,2, 3 n 平面的法向量是 2,0,0DA 设二面角的平面角为 ，由
19、图可知 为锐角，故， 3 cos 17 DA DA n n 则其正切值为故（3）判断正确； 1442 33 平面的法向量为， 53 0, 22 BC 设直线和平面所成的角为 ，则，故（4）判断正确 53 0,0,10, 22 21 sin 14 53 0,0,10, 22 综上所述，正确的有（3） ， （4） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个大题，共个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）见解析；（2） 2 30 15 【解析】 （1）证明：在正四棱柱中，底面， 1111 ABCDABC DA
20、BBC 1 BB ABCD ， 1 BBAB 又，平面，则， 1 BBBCB AB 11 BCC B ABME ， 2 13 1 22 ME 2 123BE 2 19 4 22 BM ，则， 222 MEBEBMBEME ，平面BEABBMEABE 又平面，平面平面ME 1 D EM 1 D EM ABE （2）以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，Dxyz 则， 11 2 (0,2,1), ( 2,0,0),( 2,2,2),(0,0,2),2,2 2 EABDM 则， 1 (0,2,2)AB 11 (2,2,0)B D 设是平面的法向量，即，( , , )x y zn 11 A
21、B D 1 11 0 0 AB B D n n 220 220 yz xy 令，得，2y (2,2, 1) n 由（1）知，平面 ABE 的一个法向量为， 2 ,0, 1 2 ME ， 22 30 cos, 153 5 2 ME ME ME n n n 故平面与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为 11 AB D 2 30 15 18 【答案】 （1）见解析；（2） 2 13 13 【解析】 （1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，ABCD EABABBC ABCD ，平面，BCABBCEAB 平面，EAEABBCEA 是直角，平面，AEBBEEAEAEBC 平面，平面平面EAEADEAD
22、EBC （2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在OEOABEOAB x AB 的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系 y ABCDOAB z 的长度为，则， EB 3 3 BOE0,0,0O 3 1 ,0 22 E 0, 1,3D0,1,3C ，0,1,0B0,2,0DC 31 , 3 22 CE 31 ,0 22 BE 设平面的一个法向量为，DCE, ,x y zm 则，令，解得， 20 31 30 22 DCy CExyz m m 2x 0y 3 3 z = 3 2,0, 3 m 平面的一个法向量，EAD 31 ,0 22 BE n ， 33 13
23、 cos, 133 3 m n m n mn 2 13 sin, 13 m n 二面角的正弦值为 ADEC 2 13 13 19 【答案】 （1）见证明；（2） 3 13 13 【解析】 （1）证明：取的中点，连结、，BCHOHFHOE 因为，所以，FBFCFHBC 因为平面平面，平面平面，平面，FBC ABCDFBC ABCDBCFH FBC 所以平面，FH ABCD 因为、分别为、的中点，所以且HOBCACOHAB 12 3 23 OHAB 又，所以，所以四边形为平行四边形，EFAB 2 3 3 EF EF OH OEFH 所以，所以平面OEFHOE ABCD （2）因为菱形，所以ABCD
24、2OAOCOEFH 所以，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，OAOBOEOxyz 则，所以，(2,0,0)A 2 3 0,0 3 B ( 2,0,0)C (0,0,2)E(1,0,1)Q 所以， 2 3 2,0 3 BC (3,0,1)CQ 设平面的法向量为，由，得，BCQ( , , )x y zm 0 0 BC CQ m m 2 3 20 3 30 xy xz 取，可得，1x (1,3, 3)m 平面的一个法向量为，ABC(0,0,1)n 设二面角的平面角为，则，QBCA 33 13 cos 1311 39 m n m n 因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为QBCAQBCA
25、 3 13 13 20 【答案】 （1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）证明：平面，平面， 四边形是菱形， ，平面 平面，平面平面 （2）设与的交点为 ，以、所在直线分别为 、 轴， 以过 垂直平面的直线为 轴建立空间直角坐标系（如图） ， 则， 设，则，1,0,21,0,SExzECxz ， 设，SEEC 1 1 2 1 x z 12 ,0, 11 E ， 12 ,3, 11 DE 0,2 3,0BD 设平面的法向量， 111 ,x y zn DE BD n n 0 0 DE BD n n 求得为平面的一个法向量2,0,1n 同理可得平面的一个法向量为， 3, 1,0m 平面与平面所成
26、的锐二面角的大小为， ，解得 为的中点 2 3, 1,02,0,1 3 cos30 2 2 41 m n m n 21 【答案】 （1）见解析；（2） 5 5 【解析】 （1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，易知DAE 为等边三角形，所以 ODAE，OBAE， 即在PAE 中，OPAE， AE平面 POB，AE平面 ABCE，所以平面 POB平面 ABCE （2）在平面 POB 内作 PQOB=Q，PQ平面 ABCE 直线 PB 与平面 ABCE 夹角为， 4 PBQ 又OP=OB，OPOB，O、Q 两点重合， 即 OP平面 ABCE，以 O 为原点，OE 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP
27、为 z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得，各点坐标为， 3 0,0, 2 P 1 ,0,0 2 E 3 1,0 2 C ， 13 0 22 PE ， ， 13 0 22 EC ， 设平面 PCE 的一个法向量为，则，即， 1 , ,x y zn 1 2 0 0 PE EC n n 13 0 22 13 0 22 xz xy 设，则，1y 1z 1 311， ，n 由题意得平面 PAE 的一个法向量， 2 010， ，n 设二面角为 ，APEC 12 12 15 cos 515 n n n n 即二面角为 的余弦值为 5 5 APEC 22 【答案】 （1）见证明；（2）2 【解析】 （1）连接， 菱形中， 3 BAD，为等边三角形， 又为中点， 又，则， 又，平面， 又ABCD，平面， 又平面，平面平面 （2）平面平面，且交线为，平面， ， 以为原点，所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则 1, 3,0AD ，1,0,APa ， 设平面的一个法向量为xyz， ，n， 则 0 0 AD AP n n ，即 30 0 xy xaz ，可取 3 ,3aan， 又平面的法向量可取0,1,0m， 由题意得 2 5 cos, 3 43 a a m n m n m n ，解得，即， 又菱形的面积， 四棱锥的体积为 11 2 332 33 ABCD VSPM