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1、复 习 课复 习 课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1比较法的一个易错点比较法的一个易错点 忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意 分类讨论 忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意 分类讨论 2分析法和综合法的易错点分析法和综合法的易错点 对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因 对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误 对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因 对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误 3反证法与放缩法的注意点反证法与放缩法的注意点 (1)反证法中对结论否定不全反证法中对结论否定不全
2、 (2)应用放缩法时放缩不恰当应用放缩法时放缩不恰当 专题一 比较法证明不等式专题一 比较法证明不等式 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较 法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差基本步骤是作 差 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比较 法和作商比较法，含根号时常采用比平方差或立方差基本步骤是作 差(商商)变形变形判断判断结论，关键是变形，变形的目的是判号结论，关键是变形，变形的目的是判号(与与 1 的 大小关系 的 大小关系)，变形的方法主要有配方法、因式分解法等，变形的方法主要有配方法、因式分解法等 例例 若 若 x， y， zR， a0， b
3、0， c0.求证 ：求证 ：x2y2 bc a ca b z22(xyyzzx) ab c 证明：证明：因为因为x2y2z22(xyyzzx) bc a ca b ab c ( b ax 2 a by 2 2xy) (c by 2 b cz 2 2yz) ( a cz 2 c ax 2 2zx) ( b ax a by) 2 0， ( c by b cz) 2 ( a cz c ax) 2 所以所以x2y2z22(xyyzzx)成立成立 bc a ca b ab c 归纳升华归纳升华 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启 下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否
4、化简或值 是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式 分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法 作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启 下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值 是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式 分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法 变式训练变式训练 已知 已知 a，bR，求证：，求证：a2b21abab. 证明：证明：法一 因为法一 因为 a2b2abab1 (ab)2(a1)2(b 1 1 2 2 1)20， 所以所以 a2b21abab. 法二 法二 a2b2abab1a2(b1)ab2b
5、1， 对于对于 a 的二次三项式，的二次三项式， (b1)24(b2b1)3(b1)20， 所以所以 a2(b1)ab2b10， 故故 a2b21abab. 专题二 综合法证明不等式专题二 综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方式是 “顺推” ， 即由已知的不等式出发， 逐步推出其必要条件 综合法证明不等式的思维方式是 “顺推” ， 即由已知的不等式出发， 逐步推出其必要条件(由因导果由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立，最后推导出所要证明的不等式成立 证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或 已证 已知或 已证)成
6、立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避 免错误 成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避 免错误 例例 2 设 设 a，b，c 均为正数，且均为正数，且 abc1，求证：，求证： 1. a a2 2 b b b b2 2 c c c c2 2 a a 证明：证明：因为因为b2a，c2b，a2c， a a2 2 b b b b2 2 c c c c2 2 a a 故故(abc)2(abc)， a a2 2 b b b2 2 c c c c2 2 a a 则则abc. a a2 2 b b b b2 2 c c c c2 2 a a 所以所以1. a a2 2 b
7、b b b2 2 c c c c2 2 a a 归纳升华归纳升华 综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：AB1B2 BnB(A 为已知条件或数学定义、 定理、 公理，为已知条件或数学定义、 定理、 公理， B 为要证的结论为要证的结论)， 它的常见书面表达式是“因为所以”或“” ， 它的常见书面表达式是“因为所以”或“” 变式训练变式训练 设 设 a0，b0，ab1，求证： ，求证： 8. 1 1 a a 1 b 1 1 a ab b 证明：证明：因为因为 a0，b0，ab1， 所以所以 1ab2， ，所以， ，所以4.a ab ba
8、ab b 1 1 2 2 1 1 a ab b 所以 所以 (ab)2248， 1 1 a a 1 1 b b 1 1 a ab b( 1 1 a a 1 b) 1 1 a ab b a ab b 1 1 a ab b 所以 所以 8， 1 1 a a 1 1 b b 1 1 a ab b 当且仅当当且仅当 ab 时，等号成立 时，等号成立 1 1 2 2 专题三 用分析法证明不等式专题三 用分析法证明不等式 分析法证明不等式的思维方法是 “逆推” ， 即由待证的不等式出发， 逐步逆求它要成立的充分条件 分析法证明不等式的思维方法是 “逆推” ， 即由待证的不等式出发， 逐步逆求它要成立的充分
9、条件(执果索因执果索因)， 最后得到的充分条件是已知， 最后得到的充分条件是已知 (或已证或已证)的不等式的不等式 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别 是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别 是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效 例例 3 已知 已知 abc，且，且 abc0，求证：，求证：a.b b2 2ac3 证明：证明：要证要证a，只需证，只需证 b2ac3a2.b b2 2ac3 3 因为因为 abc0，只需证，只需证 b2a(ab)3a2， 只需证只需证 2a2abb20， 只需证只需证(a
10、b)(2ab)0， 只需证只需证(ab)(ac)0. 因为因为 abc，所以，所以 ab0，ac0， 所以所以(ab)(ac)0 显然成立，显然成立， 故原不等式成立故原不等式成立 归纳升华归纳升华 1分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都 是寻求相应结论成立的充分条件 分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都 是寻求相应结论成立的充分条件 2分析法是“执果索因” ，逐步寻求上一步成立的充分条件，而 综合法是“由因导果” ，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对 分析法是“执果索因” ，逐步寻求上一步成立的充分条件，而 综合法是“由因导果” ，逐步推导出不等式成
11、立的必要条件，两者是对 立统一的一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易 入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所 以分析法和综合法可结合使用 立统一的一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易 入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所 以分析法和综合法可结合使用 变式训练变式训练 设 设 a，b，c 均为大于均为大于 1 的正数，且的正数，且 ab10. 求证：求证：logaclogbc4lg c. 证明：证明：由于由于 a1，b1，故要证明，故要证明 logaclogbc4lg c， 只要证明只要证明4lg c又又 c1，故，故 l
12、g c0， lg c lg a lg c lg b 所以只要证所以只要证4，即，即4， 1 lg a 1 lg b lg alg b lg alg b 因为因为 ab10，故，故 lg alg b1， 只要证明只要证明4.(*) 1 lg alg b 由由 a1，b1，故，故 lg a0，lg b0， 所以所以 0k2k(k1)， 所以所以， 1 k（k1） 1 k2 1 k（k1） 即 即 (kN*且且 k2) 1 k 1 k1 1 k2 1 k1 1 k 分别令分别令 k2，3，n 得得 1 ， ， 1 2 1 3 1 22 1 2 ， ， 1 3 1 4 1 32 1 2 1 3 ， ， 1 n 1 n1 1 n2 1 n1 1 n 将这些不等式相加得将这些不等式相加得 1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 2 1 2 1 3 ， ， 1 n1 1 n 即 即 1 ， ， 1 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n 所以所以 1 111 ， ， 1 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n 即 即 12 (nN*且且 n2)成立成立 3 2 1 n1 1 22 1 32 1 n2 1 n