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1、6.2 简单的线性规划问题,20102019年高考全国卷考情一览表,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,考点70平面区域问题,A.-3 B.1 C. D.3,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m-1.这时平面区域为三角形ABC.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,2.(2014安徽,文13,5分,难度)不等式组 表示的平 面区域的面积为 4 .,解析画出可行域,如图阴影区域ABC(包括边界),易得B(2,0),C(0,2),D(
2、4,0),考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,考点71简单的线性规划问题 1.(2019天津,理2文2,5分,难度)设变量x,y满足约束条件,A.2 B.3 C.5 D.6 命题点线性规划. 解题思路画出可行域,平移目标函数,确定最大值. 解析画出可行域如图,平移目标函数 z=-4x+y可知过点A时取得最大值,则目标函数z=-4x+y的最大值为 ( C ),考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,2.(2019浙江,3,4分,难度)若实数x,y满足约束条件 则z=3x+2y的最大值是( C ) A.-1 B.1 C.10 D.12 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式
3、组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=32+22=10.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,3.(2018天津,理2文2,5分,难度)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( C ),A.6 B.19 C.21 D.45,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,4.(2017全国2,理5文7,5分,难度)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( A ),A.-15 B.-9 C.1 D.9 解
4、析画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,5.(2017全国3,文5,5分,难度)设x,y满足约束条件,则z=x-y的取值范围是( B ),A.-3,0 B.-3,2 C.0,2 D.0,3 解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,求简单的线性规划问题
5、的最值,要分析截距与z的关系,如z=2x+y,即y=-2x+z,截距与z相同,故截距越大,z越大,反之亦然;再如z=x-y,即y=x-z,截距与z互为相反数,故截距越大,z越小.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,6.(2017全国1,文7,5分,难度)设x,y满足约束条件 则 z=x+y的最大值为( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故zmax=3+0=3.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点
6、74,7.(2016北京,理2,5分,难度)若x,y满足 则2x+y的最 大值为( C ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,8.(2016天津,理2,5分,难度)设变量x,y满足约束条件,A.-4 B.6 C.10 D.17 解析如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将,考
7、点70,考点71,考点72,考点73,考点74,9.(2014全国2,理9,5分,难度)设x,y满足约束条件,则z=2x-y的最大值为( B ) A.10 B.8 C.3 D.2 解析线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.,将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时zmax=25-2=8.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,10.(2014全国2,文9,5分,难度)设x,y满足约束条件,A.8 B.7 C.2 D.1 解析画出可行域如图所示,平移直线l0,当直线过点A(3,2)时,使得z最大,
8、 此时,zmax=3+22=7.故选B.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,11.(2013全国2,文3,5分,难度)设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是( B ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 解析作出可行域如图阴影部分所示.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,12.(2012全国,文5,5分,难度)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( A ),考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,13.(2010全国,文11,5分,难度)已知ABCD的
9、三个顶点为A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在ABCD的内部,则z=2x-5y的取值范围是( B ) A.(-14,16) B.(-14,20) C.(-12,18) D.(-12,20),考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,14.(2019全国2,文13,5分,难度)若变量x,y满足约束条件,解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,15.(2018全国1,理13文14,5分,难度)若x,y满足约束条件,
10、解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,16.(2018全国2,理14文14,5分,难度)若x,y满足约束条件,解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,17.(2018全国3,文15,5分,难度)若变量x,y满足约束条件,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,18.(2018北京,理12文13,5分,难度)若x,y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 3 .,作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示.,考点70,考
11、点71,考点72,考点73,考点74,19.(2018浙江,12,6分,难度)若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最小值是 -2 ,最大值是 8 . 解析画出可行域,如图阴影部分所示.,由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,20.(2017全国3,理13,5分,难度)若x,y满足约束条件,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,21.(2017全国1,理14,5分,难度)设x,y满足约束条件,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,22.(2016全国3,理13,
12、5分,难度)若x,y满足约束条件,解析作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,23.(2016全国2,文14,5分,难度)若x,y满足约束条件,解析作出可行域,如图阴影部分所示.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,24.(2016全国3,文13,5分,难度)设x,y满足约束条件,解析满足已知条件的可行域为如图所示的阴影部分,其中A(1,0),B(-1,-1),C(1,3).,当直线经过点B时,直线在y轴上的 截距最小,即z最小. 故zmin=2(-1)+3(-1)-5=-10.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点
13、74,25.(2015全国2,理14,5分,难度)若x,y满足约束条件,解析由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,26.(2015全国2,文14,5分,难度)若x,y满足约束条件,解析如图所示,可行域为阴影部分.,由可行域可知,目标函数z=2x+y过点B取得最大值.,则B(3,2),故zmax=6+2=8.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,27.(2015全国1,文15,5分,难度)若x,y满足约束条件,解析画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由,即点A的坐标为(1,1). 由z=3x+y,得y=-3x+z.
14、 作出直线l0:y=-3x,并平移, 当直线经过点A时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.所以zmax=31+1=4.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,28.(2013全国1,文14,5分,难度)设x,y满足约束条件,解析画出可行域如图所示. 画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大 值为z=23-3=3.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,29.(2012全国,理14,5分,难度)设x,y满足约束条件,解析作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线l0:x-2y=0,在可行域内平移知过点A时,z=x-2y取得最大值,过点B
15、时,z=x-2y取得最小值.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,30.(2011全国,文14,5分,难度)若变量x,y满足约束条件,解析由约束条件作出可行域如图所示,知z=x+2y在点A处取得最小值.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,考点72非线性目标函数问题 1.(2016山东,理4文4,5分,难度)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( C ) A.4 B.9 C.10 D.12 解析如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大
16、值|OC|2=10,故选C.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,2.(2016浙江,理3,5分,难度)在平面上,过点P作直线l的垂线所,在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( C ),解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为 矩形.又D(2,-2),C(-1,1),所以,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( B ),解析作出可行域,如图阴影部分所示. 两平行直线的斜率为1, 两平行直线与直线
17、x+y-3=0垂直. 两平行线间的最短距离是AB的长度.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,4.(2015全国1,理15,5分,难度)若x,y满足约束条件,的最大值为 3 .,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,非线性目标函数的线性规划问题关键在于目标函数的转化,可通过整理变形,或几何意义转化为常见问题求解.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,考点73求参数问题,若z=ax+y的最大值为4,则a=( B ) A.3 B.2 C.-2 D.-3,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,解析由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示. 线性目标函
18、数z=ax+y, 即y=-ax+z. 设直线l0:ax+y=0. 当-a1,即a-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意; 当0-a1,即-1a0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去); 当-1-a0时,即0a1时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,a= (舍去); 当-a-1,即a1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,a=2. 综上,a=2符合题意.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,2.(2015福建,文10,5分,难度)变量x,y满足约束条件,A.
19、-2 B.-1 C.1 D.2,解析作出可行域,如图所示. 作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2), 由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,且z=x+ay的最小值为7,则a=( B ) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3,解析当a=0时显然不满足题意. 当a1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),图(1) 图(2),考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,当a0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分),图(3),考点70,考点71,考点72,考点
20、73,考点74,解析如图,作出 所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时,对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为,目标 函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,5.(2013全国2,理9,5分,难度)已知a0,x,y满足约束条件,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,考点74线性规划的实际应用 1.(2018北京,理8文8,5分,难度)设集合A=(x,y)|x-y1,ax+y4,x-ay2,则( D ) A.
21、对任意实数a,(2,1)A B.对任意实数a,(2,1)A C.当且仅当a0时,(2,1)A D.当且仅当a 时,(2,1)A,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,2.(2015陕西,理10文11,5分,难度)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( D ),A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,解析设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意,画出可行域
22、如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B时,目标函数取得最大值.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,有下面四个命题: p1:(x,y)D,x+2y-2,p2:(x,y)D,x+2y2, p3:(x,y)D,x+2y3,p4:(x,y)D,x+2y-1, 其中的真命题是( B ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3,解析画出可行域如图阴影部分所示.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,4.(2013湖北,文9,5分,难度)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600
23、元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( C ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,解析设需A,B型车分别为x,y辆(x,yN),则x,y需满足,图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800,故选C.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,5.(2016全国1,理16文16,5分,难度)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216 000 元.,考点70,考点71,考点72,考点73,考点74,解析设生产产品A x件,生产产品B y件,目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),