2020版高考数学（江苏专用）一轮课件：第十三章§13.2 直线与圆、圆与圆的位置关系 .pptx

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1、13.2 直线与圆、圆与圆的位置关系,高考数学 (江苏省专用),五年高考,A组 自主命题江苏卷题组,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB 为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 =0,则点A的横坐标为 .,答案 3,解析 解法一:设A(a,2a),a0,则C , 圆C的方程为 +(y-a)2= +a2, 由 得 或 故D(1,2). =(5-a,-2a) = +2a2-4a=0,a=3或a=-1,又a0,a=3,点A的横 坐标为3.,解法二:由B(5,0),l:y=2x,ODB=9

2、0,得OB=5,tanBOD=2,sinBOD= ,cosBOD= ,则OD = ,BD=2 . 因为 =0,所以AD=BD=2 . 故OA=3 ,所以点A的横坐标为OAcosBOD=3. 解法三:由题意易得BAD=ABD=45. 设直线DB的倾斜角为,则tan =- , tanABO=-tan(-45)=3, kAB=-tanABO=-3. AB的方程为y=-3(x-5), 由 得xA=3.,2.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 20,则点P的横坐标的取值范围是 .,答案 -5 ,1,解析 本题考查平面向

3、量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆相交. 解法一:设P(x,y),则由 20可得, (-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20, 即(x+6)2+(y-3)265, 所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点. 又点P在圆x2+y2=50上, 联立得 解得 或 即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图),易知-5 x1. 解法二:设P(x,y),则由 20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即x2+12x+y2-6y20, 由于点P在圆x2+y2=50上, 故12x-6y+300,即2x-y+50, 点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5

4、0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图), 同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5), 易知-5 x1.,3.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有 桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求: 线段PB,QA上的所有点到点O的距离均 圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC 和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米). (1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长; (2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?

5、并说明理由; (3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.,解析 本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学 建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 解法一: (1)过A作AEBD,垂足为E. 由已知条件得,四边形ACDE为矩形, DE=BE=AC=6,AE=CD=8. 因为PBAB,所以cosPBD=sinABE= = . 所以PB= = =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)不能,理由如下: 若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以

6、 P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知AD= =10, 从而cosBAD= = 0,所以BAD为锐角. 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径. 因此Q选在D处也不满足规划要求.,综上,P和Q均不能选在D处. (3)先讨论点P的位置. 当OBP90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= = =3 . 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=3 时,d最小,此时P,Q两点间的

7、距离PQ=PD+CD+ CQ=17+3 .,因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米. 解法二: (1)如图,过O作OHl,垂足为H. 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系. 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3. 因为AB为圆O的直径,AB=10, 所以圆O的方程为x2+y2=25. 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为 . 因为PBAB,所以直线PB的斜率为- , 直线PB的方程为y=- x- . 所以P(-13,9),PB= =15. 因此道路PB的长为15(百米).,(2)若P在D处,取

8、线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求. 若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3), 所以线段AD:y=- x+6(-4x4). 在线段AD上取点M ,因为OM= 90时,在PP1B中,PBP1B=15. 由上可知,d15. 再讨论点Q的位置. 由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由 AQ= =15(a4),得a=4+3 ,所以Q(4+3 ,9). 此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径. 综上,当P(-13,9),Q(4+3 ,9)时,d最小,此时P,Q两点

9、间的距离PQ=4+3 -(-13)=17+3 . 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米.,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A (-2,-1),则m= ,r= .,答案 -2;,解析 本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考 查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养. 设直线2x-y+3=0为l,则ACl,又kl=2, kAC= =- ,解得m=-2,C(0,-2), r=|AC|=

10、= .,一题多解 由题知点C到直线的距离为 , r=|AC|= . 由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2, r= = .,2.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程 为 .,答案 (x-1)2+y2=4,解析 本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系. 抛物线的方程为y2=4x,其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又圆与直线l相切,圆 的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.,易错警示 由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.,3.(2018课标全国理改编,6,5分)直线x+

11、y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2 上,则ABP面积的取值范围是 .,答案 2,6,解析 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= ,ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为 d,则有S= |AB|d.易知|AB|=2 ,dmax= + =3 ,dmin= - = ,所以2S6.,方法总结 与圆有关的最值问题的解题方法 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.形如u= 的最值问题,可转化为 过点(a,b)和点(

12、x,y)的直线的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截 距的最值问题;形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.,4.(2016课标全国,16,5分)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l 的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= .,答案 4,解析 由题意可知直线l过定点(-3, ),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3, ),由于|AB|=2 ,r=2 ,所以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公式可得d= , =3,解得m=- ,

13、所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30.如图, 过点C作CHBD,垂足为H,所以|CH|=2 ,在RtCHD中,HCD=30,所以|CD|= =4.,思路分析 由弦长|AB|=2 及圆的半径可知圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式 可得 =3,进而求得m值,得到直线l的倾斜角,从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中 求得|CD|.,5.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(- 4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= .,答案 6,解析 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=

14、22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称轴,知直 线l过点C,所以2+a1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= = =6.,6.(2015课标全国,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. (1)求k的取值范围; (2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.,解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,所以 1. 解得 k . 所以k的取值范围为 . (5分) (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-

15、2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . (7分) =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = +8. 由题设可得 +8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分),7.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若

16、不 存在,说明理由.,解析 (1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),M(x0,y0), 则x0= ,y0= . 由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx. 将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0. 由题意,可得=36-20(1+t2)0(*),x1+x2= , 所以x0= ,代入直线l的方程,得y0= . 因为 + = + = = =3x0, 所以 + = . 由(*)解得t2 ,又t20,所以 x03. 所以线段AB的中点M的轨迹C的方程

17、为 +y2= .,(3)由(2)知,曲线C是在区间 上的一段圆弧. 如图,D ,E ,F(3,0),直线L过定点G(4,0). 联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 令判别式=0,解得:k= ,由求根公式解得交点的横坐标为xH,I= ,由图可知:要使直线 L与曲线C只有一个交点,则kkDG,kEGkGH,kGI,即k .,C组 教师专用题组,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.(2014江苏,9,5分,0.82)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦 长为 .,答案,解析 易知圆心为(

18、2,-1),r=2,故圆心到直线的距离d= = ,弦长为2 =2 = .,2.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC 为等边三角形,则实数a= .,答案 4,解析 易知ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为 ,即 = ,解得a=4 .经检验均符合题意,则a=4 .,评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要 求较高.,3.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b

19、2 = .,答案 2,解析 由题意知直线l1和l2与单位圆C所在的位置如图.因此 或 故a2+b2=1+1=2.,评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方 法.正确画出图形求出a和b的值是解题的关键.,4.(2013重庆理改编,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的 动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 .,答案 5 -4,解析 圆C1,C2如图所示. 设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|

20、PM|+|PN|的最 小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角 形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5 -4.,评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化 思想.,5.(2012江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少 存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .,答案,解析 圆C:(x-4)2+y2=1,如图,要

21、满足直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的 圆与圆C有公共点,只需保证圆心C到y=kx-2的距离小于或等于2即可, 20k .kmax= .,评析 本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系,通过数形结合转化为点到直线的距离是关键, 考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.,6.(2010江苏,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c =0的距离为1,则实数c的取值范围是 .,答案 (-13,13),解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆半径为2,即圆心O(0, 0)到直线12x

22、-5y+c=0的距离d1,即d= 1,-13c13.,7.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区. 规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥 两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C 位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tanBCO= . (1)求新桥BC的长; (2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?,解析 解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0,60),C(1

23、70,0), 直线BC的斜率kBC=-tanBCO=- . 因为ABBC,所以直线AB的斜率kAB= . 设点B的坐标为(a,b),则kBC= =- ,kAB= = . 解得a=80,b=120. 所以BC= =150(m). 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0d60). 由条件知,直线BC的方程为y=- (x-170),即4x+3y-680=0. 由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r= = . 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以 即 解得10d35. 故当d=10时,r= 最大,即圆面积

24、最大.,所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F. 因为tanFCO= , 所以sinFCO= ,cosFCO= . 因为OA=60 m,OC=170 m, 所以OF=OCtanFCO= m,CF= = m,从而AF=OF-OA= m.,因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO= . 又因为ABBC,所以BF=AFcosAFB= m,从而BC=CF-BF=150 m. 因此新桥BC的长是150 m. (2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD, 则MDBC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m,OM=d m(0d60). 因为OAO

25、C,所以sinCFO=cosFCO. 故由(1)知sinCFO= = = = , 所以r= . 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m, 所以 即 解得10d35.,故当d=10时,r= 最大,即圆面积最大. 所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.,解后反思 本题的数学背景是直线与圆,在解题时可以用直线与圆的位置关系求解,还可以用 解三角形的方法加以解决.,8.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1, 圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C

26、上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.,解析 (1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3, 由题意得 =1, 解得k=0或- , 故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO, 所以 =2 ,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点M(x,y)在圆C上,所以

27、圆C与圆D有公共点,则2-1|CD|2+1, 即1 3. 由5a2-12a+80,得aR; 由5a2-12a0,得0a .,所以点C的横坐标a的取值范围为 .,评析 本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和 基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.(2019苏锡常镇四市教学情况调查二,11)过直线 l:y=x-2上任意一点P作圆C:x2+y2=1的两条切 线,切点分别为A,B,当切线长最小时, PAB的面积为 .,答案,解析 设

28、P(t,t-2),则切点弦AB的方程为tx+(t-2)y=1, 即(x+y)t-2y-1=0,则AB过定点M , 当OMAB时,AB最短,P在直线OM:y=-x上,故P(1,-1), 此时P到直线AB的距离为PM= = , 又OM= ,AB=2 = , 则SPAB= = .,思路分析 本题考查切点弦问题,设出P点坐标,然后得到切点弦的方程(有参数的切线方程,可 求出定点坐标M),当OM与弦AB垂直时,弦长最小.,2.(2019宿迁期末,10)已知点A(-1,0),B(1,0),若圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在点M满足 =3, 则实数a的取值范围是 .,答案 -2,1,解析 设M

29、(x,y),因为 =3,所以点M的轨迹方程为(-1-x,-y)(1-x,-y)=3,即x2+y2=4, 又因为点M在圆(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上, 则两圆有交点,所以2-1 1+2, 即a2+a-20,a2+a+20, 解得-2a1.,3.(2019江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学联考,11)已知点A(1,1),B(1,3),圆C:(x-a)2+(y+a -2)2=4上存在点P使得PB2=PA2+32,则实数a的取值范围是 .,答案 6,10,解析 设P(x,y),PB2-PA2=32,(x-1)2+(y-3)2-(x-1)2+(y-1)2=32,y=-6,P在直线y=-6上

30、,P 在圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4上,C与直线y=-6有交点,圆C:(x-a)2+(y+a-2)2=4的圆心为C(a,-a+ 2),r=2,C与直线y=-6有交点的充要条件是-8-a+2-4,故6a10.,解题关键 点P使得PB2=PA2+32成立,即P点在直线y=-6上,原题可转化为研究直线y=-6与圆C 有交点的问题.,4.(2019苏锡常镇四市教学情况调查一,12)若直线l:ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,圆 O:x2+y2=1上存在点C,使得ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的范围为 .,答案,解析 ABC是以C为直角的等腰直角三角形, C

31、在以AB为直径的圆上, 记圆心为M,半径为1,则CM直线l, 又点C也在圆O上, C是两圆的交点, 即OM2有解. OM= 2, 解得- a .,5.(2019南通期末三县联考,12)在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,a),B(3,a+4),若圆x2+y2=9上有 且仅有四个不同的点C,使得ABC的面积为5,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 直线AB的斜率k= = , |AB|= = =5, 设ABC的边AB上的高为h, ABC的面积为5, S= |AB|h= 5h=5,即h=2, 直线AB的方程为y-a= x, 即4x-3y+3a=0. 圆心O到直线4x-3y+3a=0的距离d= =

32、 , 由题意得 1,即|3a|5,得- a .,6.(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,11)已知圆M:(x-1)2+(y-4)2=4,若过x轴上的一点P(a, 0)可以作一条直线与圆M相交于A,B两点,且满足PA=BA,则a的取值范围为 .,答案 1-2 ,1+2 ,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), PA=BA, A为PB的中点, 由点B在圆M上得 (2x1-a-1)2+(2y1-4)2=4, +(y1-2)2=1, A点也在圆M上, 圆M与圆 +(y-2)2=1有公共点, 1 3, 则-3 5,1-2 a1+2 .,7.(2017南通、扬州、泰州三模,13)在平面直角坐

33、标系xOy中,已知点A(0,-2),点B(1,-1),P为圆x2+ y2=2上一动点,则 的最大值是 .,答案 2,解析 设P(x,y),则由已知可得 = = , P(x,y)在圆x2+y2=2上, = = . 令 =t,则x+(2t-1)y+3t-2=0, 圆心到直线x+(2t-1)y+3t-2=0的距离应满足 ,解得0t4,故 4, 的最大值为2.,8.(2019扬州第一学期期中,17)在平面直角坐标系xOy中,已知直线x-3y-10=0与圆O:x2+y2=r2(r 0)相切. (1)直线l过点(2,1)且被圆O截得的弦长为2 ,求直线l的方程; (2)已知直线y=3与圆O交于A,B两点,

34、P是圆上异于A,B的任意一点,且直线AP,BP与y轴相交于M, N点.判断点M、N的纵坐标之积是不是定值.若是,求出该定值;若不是,说明理由.,解析 直线x-3y-10=0与圆O:x2+y2=r2(r0)相切, 圆心O到直线x-3y-10=0的距离为r= = . (2分) (1)记圆心O到直线l的距离为d,则d= =2. 当直线l与x轴垂直时,直线l的方程为x=2,满足题意; (3分) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+(1-2k)=0, 所以d= =2,解得k=- ,此时直线l的方程为3x+4y-10=0. (6分) 综上,直线l的方程为x=2或3x+

35、4y-10=0. (7分) (2)是定值.设P(x0,y0),不妨取A(1,3),B(-1,3), 由题意易知直线PA,PB的斜率均存在. 直线PA、PB的方程分别为y-3= (x-1),y-3= (x+1), 令x=0,得M ,N , 则yMyN= = .(*) (13分),因为点P(x0,y0)在圆C上,所以 + =10,即 =10- ,代入(*)式得 yMyN= =10,为定值. (15分),9.(2017海安高级中学阶段检测,17)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l: x+ y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T. (1)若a=8,切点T( ,-1),求直

36、线AP的方程; (2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.,解析 (1)由题意,直线PT切圆O于点T,则OTPT, 因为切点T的坐标为( ,-1), 所以kOT=- ,kPT=- = , 故直线PT的方程为y+1= (x- ),即 x-y-4=0. 由 解得 即P(2 ,2), 所以直线AP的斜率k= = = , 故直线AP的方程为y= (x+2), 即直线AP的方程为x-( +1)y+2=0. (2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4), 即3x2+3y2-4x-20=0,满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆: +y2= , 该圆的圆心 到直线l的距离

37、d= , 即 , 解得 a .,一、填空题(每小题5分,共35分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间：45分钟 分值：65分),1.(2019姜堰中学、淮阴中学期中,13)已知圆O:x2+y2=1,定点A(3,0),过A点的直线l与圆O相交于 B、C两点,B、C两点均在x轴上方,如图,若OC平分AOB,则直线l的斜率为 .,答案 -,解析 解法一:设C(cos ,sin ),则B(cos 2,sin 2), 所以直线l的斜率k= = = , 解得cos = ,所以C , 所以k= =- . 解法二:设O到l的距离为d(d0), 因为SAOC= OAOCsinAOC= OBO

38、CsinBOC=SBOC,所以AC=3BC, 所以AC+ BC= ,则 =7 ,解得d= , 所以sinOAC= = ,易得tanOAC= ,所以k=- . 解法三:由OC平分AOB知, = = , 设点B(x1,y1),点C(x,y),则 = ,即(x-x1,y-y1)= (3-x,-y), 由向量相等解得x= ,y= y1. 由点B,C在圆O上得 + =1, x2+y2= (x1+1)2+ =1, 由解得x1=- ,y1= (负值舍去), 点B ; 直线l的斜率kAB= =- . 解法四:OC是AOB的平分线, = = ,AC=3BC. 如图,设圆x2+y2=1与x轴分别交于点D、E, 则

39、有ACAB=ADAE,则ACAB=8. 12BC2=8,BC= . 所以O点到直线l的距离为d= = . 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-3),则圆心到直线l的距离为 = k2= ,又k 0,所以k=- .,2.(2019七市(南通、扬州、泰州、苏北四市)一模,13)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1,圆 C:(x-4)2+y2=4.若存在过点P(m,0)的直线l,l被两圆截得的弦长相等,则实数m的取值范围是 .,答案,解析 设直线l的方程为x=my+a,圆O与圆C到直线l的距离分别为d1,d2,圆O与圆C的半径分别为 r,R.由弦长相等得, = , 又d1= ,d

40、2= ,r=1,R=2,代入上式,化简得3m2=-8a+13. 又直线l与两圆相交,所以d1r,即 1. 由得-4a .,解题关键 由弦长相等去找等量关系是解题的关键.,3.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+ y2=1,直线l:y=x+a,过直线l上点P作圆O的切线PA,PB,切点分别为A,B,若存在点P使得 + = ,则实数a的取值范围是 .,答案 -2 ,2 ,解析 设AB的中点为M,则 + =2 = ,所以PM= PO. 因为 = ,所以PA2=PMPO= PO2,即PA= PO, 因为OA=1,且OAPA,所以PO=2,

41、所以圆心O到直线l的距离d= 2, 解得a-2 ,2 .,4.(2019南京、盐城二模,11)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2 =4上存在唯一点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为 .,答案 或,解析 设点P(x0,y0),则直线PA的方程为y= (x+1),令x=0,得PA在y轴上的截距为 , 同理得PB在y轴上的截距为- , 由截距之积为5,得- =5, 化简,得(x0-2)2+ =9(x0-1,且x05),由题意得P的轨迹应与圆M恰有一个公共点. (1)若两个圆相切,则圆心距等于半径之和或差,即 =5

42、,解得m= ;或 =1,无解. (2)若圆M经过B点(圆M不经过A点),解得m= ,此时P点轨迹与圆M有一个公共点.,5.(2019南通通州、海门联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B,C为圆O:x2+y2=4上 的两动点,且BC=2 ,若圆O上存在点P,使得 + =m ,m0,则正数m的取值范围为 .,答案 -1, +1,解析 取BC的中点M,连接OM. BC=2 ,O到BC的距离OM=1, 设M(x0,y0),P(x1,y1),有 + =1, 由 + =m 知: 2 =m ,即2(x0-1,y0-1)=m(x1,y1), P点在圆上, + =4, (x0-1)2+(y

43、0-1)2=m2, 说明M点既在圆(x-1)2+(y-1)2=m2上, 又在圆 + =1上, 则两圆有公共点,|m-1| m+1,又m0, -1m +1.,6.(2019苏北三市(徐州、连云港、淮安)期末,13)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2+2mx -(4m+6)y-4=0(mR)与以C2(-2,3)为圆心的圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足 - = - ,则 实数m的值为 .,答案 -6,解析 C1(-m,2m+3),C2(-2,3),由 - = - ,得 + = + ,即OA=OB,故三角形OAB为等腰三 角形,所以线段AB的中垂线经过原点O, 又相

44、交两圆的连心线垂直平分公共弦, 所以两圆的连心线就是线段AB的中垂线,即直线C1C2过原点O,所以 ,所以-3m=-2(2m +3),解得m=-6.,评析 由于 - = - 与距离公式有关联,所以将其转化成OA=OB,就能确定点O与两个圆的 圆心共线,从而找到解题思路.,7.(2018南通调研,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+ y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为 .,答案 3,解析 解法一:易求得直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4), 则直线CD的方程为ax

45、+(a+4)y=4, 即a(x+y)=4-4y, 所以直线CD过定点(-1,1),设N(-1,1), 又因为OMCD,所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点), 又因为以ON为直径的圆的方程为 + = , 所以AM的最大值为3 . 解法二:易求得直线AB的方程为y=x+4,所以可设P(a,a+4), 则直线CD的方程为ax+(a+4)y=4,即a(x+y)=4-4y,得a= . 又因为O,P,M三点共线, 所以ax-ay+4x=0,得a= . 所以 = ,所以点M的轨迹方程为 + = (除去原点), 所以AM的最大值为3 .,评析 本题考查直线与圆的位置关系、直线过定点问题以及圆的定义及性质,

46、考查数形结合 思想、逻辑推理能力.,二、解答题(共30分) 8.(2019南京三模,17)如图,某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m. 摩天轮与景观之间有一建筑物,此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m 的半球体组成.圆柱的底面中心P在线段AB上,且PB为45 m.半球体球心Q到地面的距离PQ为1 5 m.把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C,且圆C在平面BPQ内,点C到地面的距离CA为75 m. 该摩天轮匀速旋转一周需要30 min,若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周, 求该游客能看到点B的时长.(只考虑此建筑物对游客视线的

47、遮挡),解析 以点B为坐标原点,BP所在直线为x轴,建立如图所示平面直角坐标系,则B(0,0),Q(45,15), C(160,75). 过点B作直线l与半圆Q相切,与圆C交于点M,N,过C作CHMN.连接CM、CN. 设l的方程为y=kx,即kx-y=0, 则点Q到l的距离为 =15, 解得k= 或k=0(舍). 所以直线l的方程为y= x,即3x-4y=0. (4分) 点C(160,75)到l的距离 CH= =36. (6分) 因为在RtCHM中,CH=36,CM=72, 所以cosMCH= = . (8分) 又因为MCH ,所以MCH= ,所以MCN=2MCH= , (12分) 所以所求

48、时长为30 =10 min. (13分) 答:该游客能看到点B的时长为10 min. (14分),9.(2017南通高三第二次学情调研)如图所示,已知圆A的圆心在直线y=-2x上,且该圆上存在两 点关于直线x+y-1=0对称,已知圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于 M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程; (2)当|MN|=2 时,求直线l的方程; (3)( + ) 是不是定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.,解析 (1)由圆A上存在两点关于直线x+y-1=0对称知圆心A在直线x+y-1=0上. 由 得 则A(-1,2). 设圆A的半径为R,因为圆A与直线l1:x+2y+7=0相切, 所以圆A的半径R= =2 . 所以圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线l与x轴垂直时,其方程为x=-2,符合题意; 当直线l与x轴不垂直时