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1、第七章 不等式 简单的线性规划 对应学生用书起始页码 考 点简单的线性规划 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 （， 不同时为 ）分成三类：满足 的点；满足 的点；满足 的点 在平面直角坐标系中，（或 ）表示 直线 某一侧的所有点组成的平面区域，且不含边 界，作图时边界应画成虚线；在平面直角坐标系中，画 （或 ）表示的平面区域时，边界应画成实线 注意：（）在画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，一 定注意边界线的虚实问题以及直线的倾斜程度 （）对线性目标函数 中的 的符号一定要注意， 当 时，直线 过可行域且在 轴上截距最大时， 值 最大，在 轴上截距最小时， 值最小；当 时，直线 过
2、可行域且在 轴上截距最大时， 值最小；在 轴上截距最小 时， 值最大 对应学生用书起始页码 一、二元一次方程（组）表示的平面区域及应用 二元一次不等式（组）表示的平面区域的判断方法： （）特殊点判断法：判断 （或 ）表示 的区域时，若 ，一般取原点（，）进行检验，当原点坐标使 （或 ）成立，则 （或 ）就表示直线 的含原点的那一侧区域，否则表示 另一侧不含原点的区域；若 ，一般取（，） 或（，） 进行 检验 （）系数判断法：对于 表示的区域，当 时， 区域在直线 的上方，当 时，区域在直线 的下方 二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平 面区域的面积和已知平面区域的相关条件求参数的取
3、值或范围 对于求面积问题，可以先画出平面区域，然后判断其形状，求得 相应的交点坐标、相关的线段长度等，利用面积公式进行求解； 对于求参问题，一般需根据区域的形状判断动直线的位置，从而 确定参数的取值或范围 （）在平面直角坐标系中，已知平面区域 （，） ，且 ，则平面区域 （，） （，） 的面积为 （）若不等式组 ， ， ， 表示的平面区域的形状是三角 形，则 的取值范围是 解题导引 （ ）令 ，得 ， 利用 ， 所满足的条件 得出 ， 满足的条件 画出相应的 平面区域 得面积 （） 画出不含 的不等式所组成的 不等式组表示的平面区域 画出动直线 ，并判断原不 等式组所表示的区域的形状 结论 解
4、析 （）对于集合 ，令 ，则 ， ，由于（，），所以有 ， ， ， 即 ， ， ， 因此平 面区域 的面积即为不等式组 ， ， 所对应的平面区域的 面积，画出图形可知该平面区域的面积为 () 年高考年模拟 版（教师用书） （）作出不等式组 ， ， 表示的平面区域（如图中阴影 部分）由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角 形，只需动直线 ： 在 、之间（包含 ，不包含 ）或在 上方（包含 ）故 或 答案 （） （） 或 不等式组 ， ， 所围成的平面区域的面积 为 答案 解析 如图，不等式组所围成的平面区域为图中阴影部 分，其中 （，），（，），（，），则所求平面区域的面积为 （） 若
5、不等式组 ， ， 表示的平面区域为三角形， 且其面积等于 ，则 的值为 答案 解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则 ，即 ，所围成的区域为， 点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 （）， 两点 的横坐标分别为 ， 所以 （）（） （） （） （） ， 解得 （舍去）或 设动点 （，）在区域 ： ， ， 上，过点 任作直 线 ，设直线 与区域 的公共部分为线段 ，则以 为直径的 圆的面积的最大值为 答案 解析 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所 示，则根据图形可知，以 为直径的圆的面积最大，最大值为 () 二、目标函数最值（范围）问题的求解方法 求线性目标函数的最值的步骤 （）
6、作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数 所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； （）平移 将直线平行移动，以确定最优解的对应点的 位置； （）求值 解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入 目标函数，即可求出最值 常见的目标函数 （）截距型：形如 ，可以转化为 ，利用 直线在 轴上的截距大小确定目标函数的最值； （）点到点的距离型：形如 （） （），表示区域内 的动点（，）与定点（，）的距离的平方； （）斜率型：形如 ，表示区域内的动点（，）与定点 （，）连线的斜率； （）点到直线的距离型：形如 ，表示区域内的 动点（，）到直线 的距离的 倍 若 ， 满足约束条件 ， ， （）求目标函
7、数 的最值； （）若目标函数 仅在点（，）处取得最小值，求 的取值范围 解析 （）作出可行域如图中阴影部分，可求得 （，）， 第七章 不等式 （，），（，） 由图可知当目标函数线经过 （，）时 取最小值，经过 （，）时 取最大值 所以 的最大值为 ，最小值为 （）由图可知 ，解得 故所求 的取值范围为（，） 已知实数 ， 满足 ， ， ， 则 的取值范围 为 答案 ， ( 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所 示， 表示点 （，）与可行域内的点（，）之间连线的斜 率易得 （，），（，），因点 （，）与 （，）连线的斜率 为 ， 的坐标为（， ），故由图知 的取值范围 为 ， ( （
8、泰州中学二模，）设不等式组 ， ， 表 示的平面区域为 ，（，）是区域 上任意一点，则 的最小值是 答案 解析 作出不等式组表示的平面区域如图， 设 ，由图知 ，则 ， 即 ， 作出 的图象，平移 的图象， 由图知当 的图象经过点 时， 最大， 由 ， 得 ， ， （，）， 故 本题主要考查线性规划的应用，正确作出可行域 是解决本题的关键 已知 ， 满足 ， ， ， ， 则 () 的最小 值为 答案 解析 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示 而 () ，设 ，欲使 最小，只需使 最小即可由图知当 ， 时， 的值最 小，且最小值为，此时 变量 ， 满足约束条件 ， ， ， 若使 取得 最大
9、值的最优解有无穷多个，则实数 的取值集合是 答案 ， 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示 易知直线 与 或 平行时取得最大值 的最优解有无穷多个，即 或， 或 则实 数 的取值集合是， 已知实数 ， 满足 ， ， ， 则 的取值范 围是 答案 ， 年高考年模拟 版（教师用书） 解析 作出不等式组表示的平面区域，如图： 由图可知 的最小值为 ，最大值为 ， 由 ， ， 可得 （，）， 由 ， ， 可得 ， ()， ， ， 令 ，则 ， ， 令 （） ，则 （） ， 等号成立的条件是 ， ， ， 当 时， () ， 当 时， () ， （） ， （） ， 线性规划问题多与函数、平面向量、数列、概率、解 析几何等问题综合在一起考查，使数学问题的解答变得更加 新颖别致 常见的命题角度有： （）求线性目标函数的最值（范围）； （）求非线性目标函数的最值（范围）； （）线性规划中的参数问题