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1、第十九章 计数原理 第十九章计数原理 计数原理与排列组合 对应学生用书起始页码 考 点计数原理与排列组合 计数原理 （）分类计数原理：如果完成一件事，有 类方式，在第 类 方式中有 种不同的方法，在第 类方式中有 种不同的方 法，在第 类方式中有 种不同的方法，那么完成这件事 共有 种不同的方法 （）分步计数原理：如果完成一件事，需要分成 个步骤，做 第 步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法， ，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法 （）分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件 一步完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步 分类要用分类计数原理，
2、将种数相加；分步要用分步计数原理， 将种数相乘 排列 （）排列的定义：从 个不同的元素中取出 （）个元 素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个 元素的一个排列 （）排列数的定义：从 个不同的元素中取出 （）个 元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的排列数，用符号 表示 （）排列数公式 当 时，排列称为选排列，排列数为 （）（ ）（）； 当 时，排列称为全排列，排列数为 （）（ ） 上式右边是自然数 到 的连乘积，把它叫做 的阶乘，并 用 ！ 表示，于是 ！进一步规定 ！ ，于是， （）（）（） （）（）（）（） （）（） ！ （）！，即 ！ （）！ 组合
3、（）组合的定义：从 个不同的元素中取出 （）个元 素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合 （）组合数的定义：从 个不同的元素中取出 （）个 元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素 的组合数，用符号 表示 （）组合数公式 （）（）（） ！ ！ ！ （）！ 规定 （）组合数的两个性质： ； （）区别排列与组合 排列与组合的共同点，就是都要“从 个不同元素中，任取 个元素”，而不同点就是前者要“顺序”，而后者却是“并成一 组”因此，“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志 对应学生用书起始页码 一、用计数原理解决问题的常用方法 建模法：建立数学模型，将所给的问题转
4、化为数学问题， 这是计数问题中的基本方法 枚举法：利用枚举法（如树状图，表格）可以使问题的分析 更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设 计思想 直接法或间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接 法（排除法），用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误 分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用 的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可 先分步再分类分类要“不重不漏”，分步要“连续完整” 将红、黄、绿、黑 种不同的颜色分别涂入图中的五个 区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同 的涂色方法？ 解析 解法一： 区域有 种不同的涂色方法， 区域
5、有 种， 区域有 种， 区域有 种，但 区域的涂色依赖于 与 涂的颜色，如果 与 颜色相同有 种涂色方法，不相同，则只 有 种，因此应先分类后分步 当 与 同色时，有 （种）； 当 与 不同色时，有 （种） 年高考年模拟 版（教师用书） 故不同的涂色方法共有 （种） 解法二：先涂中间 区有 种方法，剩下 种颜色涂 周 块区域，即有一种颜色涂两个相对的区域，另一相对区域也有同 色或不同色 种涂法，共有 （种） 解法三：按用 种或用 种颜色分两类，第一类用 种，此时 与 ， 与 分别同色，于是涂法种数为 （种）；第二类 用 种，此时 与 ， 与 有且只有一组同色，涂法种数为 （种） 由分类计数原理
6、知涂法总数为 （种） 甲、乙、丙 位志愿者安排在周一至周五的 天中参 加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并 要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有 种 答案 解析 安排方法可以分为三类：若甲安排在周一，则乙、 丙有 （种）安排方法；若甲安排在周二，则乙、丙有 （种）安排方法；若甲安排在周三，则乙、丙有 （种）安排 方法所以不同的安排方法共有 （种） 如图所示的阴影部分由方格纸上 个小方格组成，我 们称这样的图案为 型（每次旋转 仍为 型图案），那么在 由 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 型图案 的个数是 答案 解析 每四个小方格（ 型）中有“”型图案 个，共有
7、 型小方格 个，所以共有“”型图案 （个） 现要安排一份 天值班表，每天有一个人值班共有 个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一 个人值班，则此值班表有 种不同的排法 答案 解析 分 步进行：第一步，先排第一天，可排 人中的任 一个，有 种排法；第二步，再排第二天，此时不能排第一天的 人，有 种排法；第三步，第三天，此时不能排第二天的人，有 种排法；第四步，第四天，此时不能排第三天的人，有 种排法； 第五步，第五天，此时不能排第四天的人，有 种排法由分步计 数原理可得不同的排法有 （种） 若集合 ，满足 ，则称（，）为集合 的一个分拆，并规定：当且仅当 时，（，）与（，）为
8、集合 的同一种分拆，则集合 ，的不同分拆种数 是 答案 解析 由题意 ，对 分以下几种情况讨论： 若 ，必有 ，共 种分拆； 若 ，则 ，或，共 种分拆； 同理 ，时，各有 种分拆； 若 ，则 、，、，或， ，共 种分拆； 同理 ，、，时，各有 种分拆； 若 ，则 、， 、，、，或，共 种分拆 综上，共有 （种）不同的分拆 二、解决排列应用题的常用方法 解决排列应用问题最常用、最基本的方法是特殊位置（元 素）优先法、捆绑法、插空法等等 （）特殊位置（元素）优先法：若以位置（元素）为主，需先满 足特殊位置（元素）的要求，再处理其他位置（元素）；若有两个 特殊位置（元素），则以其中一个位置（元素）
9、为主进行分类讨 论，注意做到层次分明 （）相邻问题捆绑法：对于几个元素要求相邻的排列问题， 可先将这几个相邻元素“捆绑”起来，看作一个整体（元素），与 其他元素排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列 （）不相邻问题插空法：对于几个元素不能相邻的排列问 题，可以先考虑其他元素的排列，然后将这些元素安排在先前排 列好的元素“空当”中，这样达到使目标元素不能相邻的目的 （）分排问题直排处理法：若有 个元素要分成 排排列， 可把每排首尾相接排成一排，对于每排的特殊要求，只要分段考 虑特殊元素，然后对其余元素进行统一排列 （）定序问题先排后除法：对于某些固定顺序的元素在排列 时，可先不考虑顺序，对全体元
10、素作全排列，然后再除以这些固 定顺序的元素的全排列 （）正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反 面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉 （）复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常 分成若干类，再由分类计数原理解决或分成若干步，再由分步计 数原理解决在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则一 般是先分类，再分步 位同学站成一排照相 （）甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ （）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ （）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ （）甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 解析 （）解法一（直接法）：分两种情况：甲站在排尾， 则有 种排
11、法；甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有 种排法 综上，共有 （种）排法 解法二（间接法）：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在 排尾的情况，但是这就把甲站在排头且乙站在排尾的情况减了 两次，故后面要加回来，即 （种）排法 （）采用“捆绑”法，将甲、乙看成一个整体进行排列（甲、乙 之间也有排列），故有 （种）排法 （）采用“插空”法，先排其他 个人，然后将甲、乙插入到 由这 个人形成的 个空中，故有 （种）排法 （）甲站在乙的左边的排法种数等于乙站在甲的左边的排 法种数，故有 （种）排法 现有男运动员 名，女运动员 名，其中男、女队长各 人选派 人外出比赛在下列情形中各有多少种选法？ （）男运
12、动员 名，女运动员 名； （）至少有 名女运动员； （）队长中至少有 人参加； 第十九章 计数原理 （）既要有队长，又要有女运动员 解析 （）第一步：选 名男运动员，有 种选法 第二步：选 名女运动员，有 种选法 共有 （种）选法 （）解法一：至少有 名女运动员包括以下几种情况： 女 男， 女 男， 女 男， 女 男 由分类加法计数原理可得共有 （种）选法 解法二：“至少有 名女运动员” 的反面为“全是男运动 员”，可用间接法求解 从 人中任选 人有 种选法，其中“全是男运动员”的 选法有 种 所以“至少有 名女运动员”的选法为 （种） （）解法一：可分类求解： “只有男队长”的选法有 种；
13、“只有女队长”的选法有 种； “男、女队长都入选”的选法有 种； 所以共有 （种）选法 解法二：间接法： 从 人中任选 人有 种选法， 其中不选队长的选法有 种，所以“至少有 名队长”的选 法有 （种） （）当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法不选女 队长时，必选男队长，共有 种选法其中不含女运动员的选法 有 种，所以不选女队长，且有女运动员的选法共有 种 所以既有队长又有女运动员的选法共有 （种） 某天连续有 节课，其中语文、英语、物理、化学、生物 科各 节，数学 节在排课时，要求生物课不排第 节，数学 课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同的排法有 种 答案 解析 数学在第（，）节，从
14、除英语的 门课中选 门安 排在第 节，剩下的任意排，故有 （种）；数学在第（， ）节，从除英语、生物外的 门课中选 门安排在第 节，从除 英语外剩下的 门课中再选 门安排在第 节，剩下的任意排， 故有 （种）；数学在第（，），（，），（，）节情况一 样，当英语在第 节时，其他任意排，故有 （种），当英语不 在第 节时，从除英语、生物外的 门课中选一门安排在第 节， 再从除英语的剩下的 门中选 门放在数学课前 节和后 节， 剩下的任意排，有 （种），故有 （ ） （种）；数学在第（，）节，当英语在第 节课时，其他任意排，故 有 （种），当英语不在第 节时，从除英语、生物外的 门 课中选一门安排在
15、第 节，再从除英语的剩下的 门中选 门放 在第 节，剩下的任意排，有 （种），故有 （种），根据分类计数原理，共有 （种） 某书店有 种杂志， 元 本的有 种， 元 本的 有 种，小张有 元钱买杂志，每种至多买一本， 元钱刚好用 完，则不同买法的种数是 （用数字作答） 答案 解析 根据题意，可有以下两种买法： 用 元钱买 元 本，共有 （种）； 用 元钱买 元 本的杂志 本和 元 本的杂志 本，共有 （种）， 故不同买法的种数是 从 名男同学和 名女同学中选出 名参加某项活 动，其中男女生都有的选法种数为 答案 解析 分两类：男 女 或男 女 ，各有 和 种方法，所以选法种数为 为配合足球国家
16、战略，教育部特派 名相关专业技术 人员到甲、乙、丙三所足球学校进行专业技术培训，每所学校至 少一人，其中王教练不去甲校的分配方案有 种 答案 解析 甲校派 人，其余 人分为（，），（，）两组， 故有 （ ） （种）； 甲校派 人，其余 人分为（，），（，）两组， 故有 （ ） （种）； 甲校派 人，其余 人分为（，）一组， 故有 （种）； 甲校派 人，其余 人分为（，）一组， 故有 （种）， 根据分类计数原理，可得不同的分配方案共有 （种） 在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者 将孙悟空、猪八戒、沙僧、唐僧、白龙马彩色陶俑各一个送给来中 国的美国中学生汤姆、杰克、索菲亚，每个学生至少
17、一个，且猪八 戒不能送给索菲亚，则不同的送法有 种 答案 解析 根据索菲亚所得彩色陶俑个数分为三类：第 类， 索菲亚得 个，先在除猪八戒外 个中选 个送给索菲亚有 种不同方法，再将剩余两个分别送给杰克与汤姆有 种不同方 法，根据分步计数原理共有 种不同方法；第 类，索菲亚得 个，先在除猪八戒外 个中选 个送给索菲亚有 种不同方 法，再将剩余的三个彩色陶俑分成两组有 种不同的分组方 法，再将这两组分别送给杰克与汤姆有 种不同方法，根据分 步计数原理共有 种不同方法；第 类，索菲亚得 个，先 在除猪八戒外 个中选 个送给索菲亚有 种不同方法，再将 剩余的 个彩色陶俑分成两组有 种不同的分组方法，再
18、 将这两 组 分 别 送 给 杰 克 与 汤 姆 有 种 不 同 方 法， 共 有 种不同方法根据分类计数原理可得不同的送 法种数为 三、计数原理的综合问题 排列组合问题是生活中常见问题之一，在学生思维能力提 升，综合素质培养中起到很重要的作用，通过观察问题中的简单 现象，从中归纳猜想出一般性的规律，并能够严格地加以证明， 主要类型有计数类、求和类、整除类、递推类等 （ 南通、扬州、泰州、苏北四市期初，）设集合 是集合 ，的子集记 中 所有元素的和为 （规定： 为空集时， ）若 为 的整数 倍，则称 为 的“和谐子集” 年高考年模拟 版（教师用书） 求：（）集合 的“和谐子集”的个数； （）集
19、合 的“和谐子集”的个数 解析 （） 集合 ， 的子集有：， ， 其中所有元素和为 的整数倍的集合有：， ， 所以 的“和谐子集”的个数为 （ 分） （）记 的“和谐子集”的个数为 ，即 有 个所有元 素和为 的整数倍的子集； 另记 有 个所有元素和为 的整数倍余 的子集，有 个所有元素和为 的整数倍余 的子集 由（）知， 集合 ，（ ）的“和谐子集”有以下四类（考察新增元素 ，（ ）： 第一类：集合 ，的“和谐子 集”，共 个； 第二类：仅含一个元素 （）的“和谐子集”，共 个； 同时含两个元素 ， 的“和谐子集”，共 个； 同时含三个元素 ，（） 的“和谐子集”，共 个； 第三类：仅含一个
20、元素 的“和谐子集”，共 个； 同时含两个元素 ，（）的“和谐子集”，共 个； 第四类：仅含一个元素 的“和谐子集”，共 个； 同时含有两个元素 ，（）的“和谐子集”，共 个， 所以集合 的“和谐子集”共有 个 同理得 ， （ 分） 所以 （ ）， ， 所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列 所以 同理得 又 ，所以 （） （ 分） （ 溧水中学调研，）在自然数列 ， 中，任取 （）， 个元素，其余（）个元素变动位 置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为 （） （）求 （），（）； （）证明： （） （），并求出 （） 的值 解析 （）数列 ， 中保持其中 个元素位置不动的 排
21、列只有 ， 或 ， 或 ， 所以 （） （ 分） 数列 ， 中保持 个元素位置不动的排列，即每个数 字都不在原来的位置上， 所以 （） （ 分） （）数列 ， 中任取其中 个元素位置不动，则有 种，其余（）个元素重新排列，并且使其余（）个元素都 要改变位置，则有 （） （）， 故 （） （）， 又 ， （ 分） 所以 （） （） （） （），（ 分） 对任意的 ， （） ！，从而 （） （ ）！， 所以 （） （）！ ！（ 分） （ 南京建邺模拟）设集合 ， 是非空集合 的 两个不同子集 （）若 ，且 是 的子集，求所有有序集合对 （，）的个数； （）若 ，且 的元素个数比 的元素 个数少，求
22、所有有序集合对（，）的个数 解析 （）若集合 含有 个元素，即 ，则 ，则（，）的个数为 ； 若集合 含有 个元素，则 有 种可能，不妨设 ，则 ，此时（，）的个数为 综上，（，）的个数为 （）因为集合 有 个子集，又集合 ， 是非空集合 的 两个不同子集， 则不同的有序集合对（，）的个数为 （） 若 的元素个数与 的元素个数一样多，则不同的有序集 合对（，）的个数为 （ ） （ ） （ ） （ ） （）（ ） （ ） （ ） （ ）， 又（） （） 的展开式中 的系数为（ ） （ ） （ ） （ ） ， 且（） （）（）的展开式中 的系数为 ， 所以（ ） （ ） （ ） （ ） 因为 ，所以当 的元素个数与 的元 素个数一样多时， 有序集合对（，）的个数为 所以， 的元素个数比 的元素个数少时，有序集合对 （，）的个数为 （）（ ） 名师点睛 集合的基本运算的关注点： （）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素 的构成入手是解决集合运算问题的前提； （）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并 进行 运算，可使问题简单明了，易于解决； （）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数 轴、坐标系和 图 （）求子集问题时，要结合排列组合知识与二项式定理 解决