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1、第十九章 计数原理 二项式定理 对应学生用书起始页码 考 点二项式定理 二项式定理 （） （） 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做（） 的二 项展开式，其中系数 （，）叫做第 项的二项式 系数式中的 叫做二项展开式的第 项（通项），用 表示，即展开式的第 项； 二项展开式形式上的特点 （）项数为 （）各项的次数都等于二项式的幂指数 ，即 与 的指数 的和为 （）字母 按降幂排列，从第一项起，次数由 逐项减 直到 零；字母 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项加 直到 （）二项式的系数从 ， ，一直到 ， 二项式系数的性质 （）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项 式系数相等
2、（）若二项式的幂指数是偶数，则中间项的二项式系数最 大；若二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并 且最大 （）二项式系数的和等于 ，即 （）二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 二项式的通项易误认为是第 项，实质上是第（ ）项 （） 与（） 虽然相同，但具体到它们展开式的 某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 与第二个量 的位置不能颠倒 易混淆二项式中的“项” “项的系数” “项的二项式系 数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符 号，二项式系数仅指 （，） 对应学生用书起始页码 一、展开式中特定项或特定项系数的求法 求二项展开式
3、的特定项问题，实质是考查通项 的特点，一般需要建立方程求 ，再将 的值代回通项求解，注意 的取值范围（，） 常见题型及求解方法： （）求第 项：此时 ，直接代入通项； （）求常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂 指数为 建立方程； （）求有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方 法求解 （）在二项式 的展开式中，前三项的系数 成等差数列，展开式中的有理项是 ，二项式系 数最大的项是 （） 的展开式的中间项是 （）在二项式（） 的展开式中，系数最小的项的系数 是 解析 （） 二项展开式的前三项的系数分别是 ， ， （）， （
4、）， 解得 或 （不合题意，舍去）， () ， 当 时，为有理项 且 ， ， 符合要求 故有理项有 项，分别是 ， ， ， 展开式中共 项，中间一项即第 项的二项式系 数最大，且 （） （ ） ， 展开式的中间项为 （ ） （） （） 要使项的系数最小，则 必为奇数，且使 最大，由此得 ，从而可知系数最小项的系数为 （） 答案 （） ， ， ； （） （） 归纳总结 一般地： 当 为奇数时，（） 的展开式的中间项是 和 ； 年高考年模拟 版（教师用书） 当 为偶数时，（） 的展开式的中间项是 （ 天津理， 分） () 的展开式中 的 系数为 （用数字作答） 答案 解析 （） （） ，令 ， 得
5、 ，所以 的系数为（） 已知 的展开式中 的系数为 ，常数 的值为 答案 解析 () （） ， 令 ，得 ，依题意，得 （） ， 解得 若二项式 () （）的展开式中各项的系数 和为 ，则该展开式中含 项的系数为 答案 解析 令 ，得 () 的展开式中各项的系数和为 ，即 ，所以 () 的展开式的通项为 （ ） () ，令 ，得 ，所以该展开式中含 项的系数为 （ 课标全国改编， 分）（） 的展开 式中，的系数为 答案 解析 （） （） 的展开式中只有 （ ） 中含 ，易知 的系数为 的展开式中系数最大的项是 答案 ， 解析 的展开式的通项为 () () 要求系数最大的项，则有 () () ，
6、 () () ， 即 ！ ！ （）！ ！ （）！ （）！， ！ ！ （）！ ！ （）！ （）！， 即 ， （）， 解得 系数最大的项为第 项 和第 项 二、展开式中系数和的有关问题的解法 （）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形 如（） （、）的式子求其展开式的各项系数之和，常用 赋值法，只需令 即可；对形如（） （、）的式子求 其展开式的各项系数之和，只需令 即可 （）一般地，对于多项式（） ，令 （） （） ，则 （） 展开式中各项的系数的和为 （）， （）展开式中奇数项的系数和为 （）（）， （） 展开式中偶数项的系数和为 （）（） 已知等式（） （）（） （） （） ，其
7、中 （，）为常数求： （） 的值； （） 的值 解析 （）在（） （）（） （） （） 中， 令 ，得 ； 令 ，得 所以 （）等式（ ） （ ） （ ） （） （） 的两边对 求导， 得 （） （） （）（） （） 在 （） （） （）（） （） 中，令 ，整理，得 若（） （） （）（） （） ，求 的值 解析 依题意，令 ，得 ； 令 ， 得 () () () () () ， 即 () 已知 （ ） （） （）若 （，），求证： 是奇数； （）求证：对于任意 都存在正整数 ，使得 证明 （）由二项式定理，得 （ ） （ ） （ ） ， 所以 （ ） （ ） ， 第十九章 计数原理 因为
8、为偶数，所以 是奇数 （）由（）设 （ ） （，），则（ ） ， 所以 （ ）（ ） （ ）（ ） （ ） （）， 当 为偶数时， ，存在 ，使得 ； 当 为奇数时， ，存在 ，使得 综上，对于任意 ，都存在正整数 ，使得 三、利用二项式定理解决相关化简、证明问题的方法 二项式定理常常用来化简、证明有关组合数问题，常见方 法有： （）赋值法：用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变 为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法” 配合整除的有关知识来解决，普遍适用于恒等式 （）构造法：是指构造函数或构造同一问题的两种算法，用 于证明组合恒等式或化简组合式，是解决二项展开式中“系数
9、和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法 （）整除性问题：利用二项式定理解决整除问题时，关键是 进行合理的变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一 个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均 能被另一个式子整除即可 （）余数问题：应明确被除式 （）与除式 （）（）， 商式 （）与余式的关系及余式的范围 （）有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放 缩”处理 （ 南通调研， 分）已知（） ，记 （） （）求 的值； （）化简 的表达式，并证明：对任意的 ，都能被 整除 解析 由二项式定理，得 （，） （） （）因为（） （） （）！ （）！（）！ （）（）
10、！ （）！（）！ （） ， 所以 （） （） （） （）（） （） （） （） （） （） （ ）（） （） （） （）（ ） （） （ ） 因为 ，所以 能被 整除 设 ， （）求值： ； （） （）； （）化简： （） （） 解 析 （ ） ！ ！（）！ （）！ （）！（）！ ！ （）！（）！ ！ （）！（）！ （） ！ ！（）！ （ ） （）！ （）！（）！ （）！ （）！（）！ ！ （）！（）！ ！ （）！（）！ ！ （）！（）！ ！ （）！（）！ () （）解法一：由（）可知当 时， （） （ ） （） （） ， 故 （） （） （ ） （）（ ） （ ）（ ） （）（） （ ）（） （） 解法二：当 时，由二项式定理，得（） ， 两边同乘 ，得 （） ， 两边对 求导，得 （） （） （） （） ， 两边再同乘 ，得 （） （） （） （） ， 两边再对 求导，得（）（）（）（） （） （） （） 令 ，得 （） （） （） ， 即 （） （） （ ）