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1、第十四章圆锥曲线与方程 真题多维细目表 考题涉分题型难度考点考向解题方法核心素养 江苏， 分填空题易双曲线的几何性质求双曲线渐近线方程 公式法 直接法 数学运算 江苏， 分解答题易直线与椭圆的位置关系 椭圆的定义、标准方程、 圆的方程、直线与椭 圆的位置关系 直接法 数学运算 直观想象 江苏， 分填空题易双曲线的几何性质求双曲线离心率直接法数学运算 江苏， 分解答题中 椭圆的定义和标准方程 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 求圆的方程 求椭圆的方程 由直线与椭圆的位 置关系求直线方程 直接法数学运算 江苏， 分填空题易双曲线的几何性质双曲线的性质及应用直接法数学运算 江苏， 分解答题易 椭
2、圆方程 椭圆的几何性质 求椭圆方程 由椭圆的几何 性质求坐标 直接法数学运算 江苏， 分填空题易双曲线的几何性质已知双曲线方程，求焦距直接法数学运算 江苏， 分填空题易椭圆的几何性质求椭圆的离心率直接法数学运算 江苏， 分解答题中 抛物线的方程 抛物线的几何性质 求抛物线的方程直接法数学运算 江苏， 分填空题易双曲线的几何性质利用双曲线的性质求最值直接法数学运算 江苏， 分解答题中 椭圆方程 直线与椭圆的位置关系 求椭圆方程 求椭圆的弦长 直接法数学运算 命题规律与趋势 考查内容 考查圆锥曲线的定义与方程、几何性质、直 线与椭圆的位置关系，弦中点，定点与定值 问题，范围问题 命题特征 一小一大
3、，一道填空题，难度不大，一道解 答题，在第 题，难度适中 核心素养 以考查数学运算及逻辑推理为主 命题趋势 高考中，本章内容题型平稳，填空题考查双 曲线或抛物线的基本概念和几何性质，解 答题考查椭圆的方程和几何性质，直线与 椭圆的位置关系 备考建议 重视对圆锥曲线定义的理解与应用一方 面，既要理解圆锥曲线的定义，还要了解 圆锥曲线的其他表现形式；另一方面，要 充分创造条件应用定义；从而简化问题 的求解 总结基本问题的常见算法（通性通法）， 如直线与圆锥曲线的交点个数问题，求 交点问题，弦长问题、中点问题等 合理选择解题思路，优化解题过程 适时利用平面几何性质 第十四章 圆锥曲线与方程 椭圆及其
4、性质 对应学生用书起始页码 考点一椭圆的定义和标准方程 高频考点 椭圆的定义 平面内与两个定点 ，的距离的和等于常数（ 大于 ）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 （，） ， ，其中 ，且 ， 为常数： （）当 时， 点的轨迹是椭圆； （）当 时， 点的轨迹是线段； （）当 时， 点不存在 椭圆的标准方程 （）焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 （）， 焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 （）给定椭 圆 ，（），要根据 、 的大小来判断焦点 在哪个坐标轴上 （）若焦点位置不确定，则可设椭圆方程为 （ ，且 ） 考点二椭圆的几何性质 高频考点 椭圆的简单几何
5、性质 焦点在 轴上焦点在 轴上 标准方程 （） （） 图形 焦点坐标（，），（，）（，），（，） 顶点坐标 （，），（，） （，），（，） （，），（，） （，），（，） 范围， 准线方程 长轴长 短轴长 焦距 离心率 （）， 越接近于 ，椭圆越扁； 越接近于 ，椭圆越圆 点与椭圆的位置关系 已知点 （，），椭圆 （），则 （）点 （，）在椭圆内 ； （）点 （，）在椭圆上 ； （）点 （，）在椭圆外 若已知点在椭圆上，则把点的坐标代入椭圆方程，可构造关 于一些量的等式；若已知点在椭圆内（外），则把点的坐标代入椭 圆方程，可构造关于一些量的不等式，进而可解决相关的取值范 围或最值问题 与椭圆有
6、关的常用结论 （）设 ， 是中心在原点的椭圆上不同的三点，其中 ， 两点关于原点对称，且直线 、 的斜率都存在，则 （） 是椭圆上一点， 为椭圆的焦点，则， ，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 ； （）椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为 ，通 径是最短的焦点弦； （） 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为 椭圆的两焦点，则的周长为 （） （）椭圆上的点 （，）与两焦点构成的称作 焦点三角形如图若 ， ，则 ， 当 ，即 为短轴端点时， 最大，且最大值为 考点三直线与椭圆的位置关系 高频考点 直线与椭圆的位置关系的判断方法 通常将直线 的方程 （， 不同时为 ）代入椭 圆 的
7、方程 （，） ，消去 （也可以消去 ）得到一个关于变 量 （或变量 ）的一元二次方程即 ， ， 消去 ，得 设一元二次方程 的判别式为 ，则 直线 与椭圆 相交；直线 与椭圆 相切； 直线 与椭圆 相离 年高考年模拟 版（教师用书） 弦长公式 设斜率为 （）的直线 与椭圆 相交于 ， 两点， （，），（，），则 （ ） （ ） （ ） 或 （ ） （ ） （ ） （） 处理中点弦问题的常用方法 （）点差法：设弦的两端点为 （，），（，），则有 ， ，相减得（ ）（ ） （ ）（ ） ， 从而有 ，式中含有 ， ， 三个 未知量，这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率，借用中点坐 标公式即可求得斜
8、率 （）根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程 组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解 注意 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关 系在解题过程中易漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定 范围方面略显不足 对应学生用书起始页码 一、求椭圆的离心率或其取值范围的方法 （）若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定 ，的值， 进而求出 ， 的值，从而利用公式 直接求解；（）若椭圆的 方程未知，则根据条件及几何图形建立关于 ， 的齐次等式 （或不等式），化为关于 ， 的齐次方程（或不等式），进而化为关 于 的方程（或不等式）进行求解 （ 重庆理， 分）如图，椭圆 （ ）的左、
9、右焦点分别为 ，过 的直线交椭圆于 ， 两点， 且 （）若 ， ，求椭圆的标准方程； （）若 ，求椭圆的离心率 解题导引 （） 利用椭圆的 定义求得 值 利用勾股定理求得 值 求出 值 写出椭圆标准方程 （ ）解法一： 设 点 坐标 利用两点间距 离公式得 利用等腰直角三角形 得 由 的周长 为 建立方程 转化为关于 的 方程，求得离心率 解法二： 由椭圆定义及已知条件 得 利用等腰直角三角 形得 列方程求 出 利用椭圆定义 求出 利用 求离心率 解析 （）由椭圆的定义，有 （ ） （ ） ，故 设椭圆的半焦距为 ，由已知 ，得 （ ）（ ） ，即 ，从而 故所求椭圆的标准方程为 （）解法一：
10、连接 ，如图，设 （，），因为点 在椭圆 上，且 ， 所以 ， ， 求得 ， 由 得 ， 从而 （ ） （ ） 由 ， ，知 因此（ ） ， 即（ ）（ ） ， 于是（ ）（） ， 解得 解法二：连接 ，由椭圆的定义，有 ， 从而由 ，有 又由 ， ，知 ， 因此， ，得 （ ）， 从而 （ ）（ ） 由 ，知 （）， 因此 （ ）（ ） 第十四章 圆锥曲线与方程 （ 课标全国改编， 分）已知 为坐标原 点， 是椭圆 ： （）的左焦点， 分别为 的 左，右顶点 为 上一点，且 轴过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 若直线 经过 的中点，则 的离心率为 答案 解析 解法一：设点 （，）
11、， 的中点为 ，则直线 的斜率 ，从而直线 的方程为 （），令 ，得点 的纵坐标 同理， 的中点 的纵坐标 因为 ，所以 ， 即 ，所以 解法二：如图，设 的中点为 ， 由题意知 ， ， ， ， 轴， ， ， 又 ，即 ， ，故 （ 盐城中学期末，）已知椭圆 ： （ ）与圆 ： ，若椭圆 上存在点 ，由点 向圆 作 两条切线 ，且 ，则椭圆 的离心率的取值范 围是 答案 ， 解析 因为，所以，在中， 由 得 ，由点 在椭圆上知， ，所 以 （ ），解得 ，又 ，所以 （ 苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知 、分别为椭圆 ： （）的右、下、上 顶点， 是椭圆 的右焦点若 ，则椭圆 的
12、离心率是 答案 解析 因为 （，），（，），（，），（，），所以 （，）， （，）因为 ，所以 ，即 ，故 ，解得 （负值舍去） 已知椭圆 （， ）的左、右焦 点分别为 ，若以 为圆心， 为半径作圆 ，过椭圆上 一点 作此圆的切线，切点为 ，且的最小值不小于 （ ），则椭圆的离心率 的取值范围是 答案 ， 解析 由题意易得 （） （）， 而的最小值为 ， 所以的最小值为（） （） 依题意，有（） （） （）， 所以（） （），所以 （）， 所以 ，所以（） （ ）， 所以 ，所以 又 ，所以 ，所以 ，所以 联立，解得 故 ， 二、椭圆中定点（定值）问题的求法 定点、定值问题是解析几何解答题的
13、考查重点此类问题定 中有动，动中有定，并且常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，深 入考查直线与圆锥曲线的位置关系等相关知识考查数形结合， 分类讨论，转化与化归，函数与方程等数学思想方法 定点问题 解定点问题的关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂 直关系、中点关系、方程、不等式等，然后将已知量、未知量代入上述 关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决 定值问题 解决定值问题时，要善于运用辩证的观点去思考、分析，在 动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算 推理求出结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和 参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质等，再
14、用根与系 数的关系，点差法等推导出所求定值关系所需要的表达式，并将 其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查 极端位置，探索出“定值”，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特 殊图形等）确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将问题涉 及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒成立 的同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值， 还可以为我们提供解题的线索 年高考年模拟 版（教师用书） （ 海安期末，）在平面直角坐标系 中，已知 椭圆 （）的左、右顶点分别为 、，焦距为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点（均异于椭圆的左、右顶点）当直线 过 椭圆的右焦点 且垂直于 轴时，
15、四边形 的面积为 （）求椭圆的标准方程； （）设直线 ， 的斜率分别为 ， 若 ，求证：直线 过定点； 若直线 过椭圆的右焦点 ，试判断 是不是定值， 并说明理由 解析 （）由焦距为 ， 垂直于 轴，设点 的坐标为 （，），代入 （）得， ，解得 所以四边形 的面积为 ， 所以 ，所以 所以椭圆的标准方程为 （ 分） （）由题意设直线 ：（）， 联立得 ， （）， 整理得（ ） ， 所以 ，解得 ， 从而 （） 所以点 的坐标为 ， 同理可得，点 的坐标为 ， （ 分） 猜想：直线 过定点 （，），下证之： 因为 ， 所以 所以 ， 三点共线，所以直线 过定点 （，） （ 分） 是定值理由如下
16、： 由题意设 （，），（，），直线 ：， 代入椭圆的标准方程 ，得（） ， 所以 ， （ ） （ ） ， 所以 ， （ 分） 解法一：所以 （ ） （ ） （ ） （ ） （定值） （ 分） 解法二：两式相除得 ，则 （ ） 所以 （ ） （ ） （定值）（ 分） （ 镇江期末，）已知椭圆 ： （） 的长轴长为 ，两准线间的距离为 设 为椭圆 的左顶点， 直线 过点 （，），且与椭圆 相交于 ， 两点 （）求椭圆 的方程； （）若 的面积为，求直线 的方程； （）已知直线 ， 分别交直线 于点 ，线段 的中点为 ，设直线 和 的斜率分别为 （），求证： 为定值 解析 （）由题意可知， ， 解得
17、 ， ，因为 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 （）因为 ， 所以 ， 所以 设直线 ：，代入椭圆 ，整理得（） ， 所以 ， （ ） （ ） ， 则 （ ） ， 解得 ，即 ， 所以直线 的方程为 （）证明：设直线 ： （ ），代入椭圆 ，整理得 （） ， 设 （，（），（，（）， 所以 ， ， 直线 的方程为 （ ） （）， 第十四章 圆锥曲线与方程 令 ，得 点坐标为 ，（ ） ， 同理可得 点坐标为 ，（ ） 因为 为 中点， 所以 ， 将 ， 代入上式， 整理得 ， 所以 ， 所以 三、椭圆中最值（范围）问题的求法 （）椭圆中最值（范围）问题可分为两类：一是涉及距离、面 积的最值以及
18、与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何 元素的最值以及当这些元素存在最值时，求解与之有关的一些 问题 （）椭圆中的最值和范围问题的求解方法：一是注意题目中 的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想，建立目 标函数，求解最值在利用代数法解决最值和范围问题时常从以 下五个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核 心是两个参数之间建立等量关系； 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值 范围； 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值 范围； 利用函数的值域的求法确定参数的取值范围 如图，已知动直线
19、 ： 与椭圆 交于 ， 两个不同点 （）若动直线 ： 又与圆 （） 相切，求 的取值范围； （）若动直线 ： 与 轴交于点 ，满足 ，点 为坐标原点求 面积的最大值，并指出此时 的值 解析 把 代入椭圆方程 ，整理得 （） （）（） （）（）， 即 直线 与圆 （） 相切， ， ， 把代入得：， 解得 或 （）设 （，），（，）， （，）， ， ， 由式得： ， （ ） 又 是方程的根， （ ） （ ） ， ，由题意得 ， 显然满足 （） （）（）， ， ，当且仅当 ，即 （符合题意）时取等号， 当 时， 的面积取最大值 （ 泰州期末，）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 ： （）的左顶点为 ，
20、点 是椭圆 上 异于左、右顶点的任一点， 是 的中点，过点 且与 垂直 的直线与直线 交于点 ，已知椭圆 的离心率为 ，点 到 右准线的距离为 （）求椭圆 的标准方程； （）设点 的横坐标为 ，求 的取值范围 解析 （）依题意，有 ，即 ， 又 ，所以 ， 解得 ，则 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 （）由（）知，（，），设 的方程为 ， 则 ， ， ， 年高考年模拟 版（教师用书） 即 ， ，则 ， ， 则 ，直线 的方程为 ；，直线 的方程为 由 ， （ ） （，） 故 的取值范围是（，） （ 江都中学、华罗庚中学等 校联考，）如图， 、分别为椭圆 （）的焦点，椭圆的右准线 与 轴交于 点
21、，（，），且 （）求椭圆的方程； （）过 、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于 、 、 四点，求四边形 面积的取值范围 解析 （）由 （，）得 ， 点坐标为（，） （ 分） ， 是 的中点， ， ， 椭圆的方程为 （ 分） （）当直线 与 之一与 轴垂直时，四边形 的 面积 （ 分） 当直线 ， 均与 轴不垂直时，不妨设 ：（） （）， 联立 （）， ， 消去 得（） （） 设 （，），（，），则 ， （ 分） （ ） 同理 四边形 的面积 （ 分） 令 ，则 ， （） ， 易知 是以 为变量的增函数 所以当 ，即 时，取最小值， ， 综上可知，四边形 面积的取值范围为 ， ) （ 分） 四、椭
22、圆中存在性问题的求法 存在性问题的解题步骤：（）先假设存在，引入参数，根据 题目条件列出关于参数的方程（组）或不等式（组）；（）解此方 程（组）或不等式（组），若有解，则存在；若无解，则不存在 解决存在性问题要注意解题的规范性，一般先作出结论， 后给出证明（理由） （ 盐城中学三模，）如图，已知 、分别是椭 圆 （）的左、右焦点，点 （，）是椭圆 上一 点，且 轴 （）求椭圆 的方程； （）设圆 ：（） （） 设圆 与线段 交于两点 ，若 ， 且 ，求 的值； 设 ，过点 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 ， 两点（均异于点 ）试问：是否存在这样的正数 ，使得 ， 两 点恰好关于坐标原点 对称？
23、 若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由 解析 （）因为点 （，）是椭圆 上一点，且 轴，所以椭圆的半焦距 ， 由 ，得 ，所以 ， （ 分） 化简得 ，解得 （负值舍去），所以 ， 所以椭圆 的方程为 （ 分） （）因为 ， 所以 ，即 ， 所以线段 与线段 的中点重合（记为点 ）， 易知 ， () （ 分） 所以 ， 第十四章 圆锥曲线与方程 所以 ，解得 ，（ 分） 所以 () () ， 故 () （ 分） 假设存在由 ， 两点恰好关于原点对称，设 （，）， 则 （，），不妨设 ， 因为 （，），所以两条切线的斜率均存在 设过点 与圆 相切的直线斜率为 ，则切线方程为 （），即 ， 由该直线与圆 相切，得 ，即 ， （ 分） 所以两条切线的斜率互为相反数，即 ， 所以 ， 化简得 ，即 ， 代入 ，化简得 ， 解得 （舍）或 ，所以 （ 分） 所以 （ ， ），（ ， ），所以 ， 所以 故存在满足条件的 ，且 （ 分） （ 南京金陵中学检测，）已知圆 ： ，点 （，），