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1、第6讲函数的奇偶性与周期性1.2018衡水调研 下列函数中,在-1,1上与函数y=cos2x2的单调性和奇偶性都相同的是()A.y=2x-2-xB.y=|x|+1C.y=x2(x+2)D.y=-x2+22.函数f(x+1)是偶函数,则函数f(x)的图像关于()A.直线x=1对称B.直线x=-1对称C.点(1,0)对称D.点(-1,0)对称3.2018岳阳一中月考 已知函数f(x)=mxmx+1+2018tanx+x2(m0,m1),若f(1)=3,则f(-1)=()A.-3B.-1C.3D.04.2018南昌模拟 已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+3)=f(x-3),f
2、(-x)=f(x),且当x-3,0时,f(x)=log12(6+x),则f(2018)的值为.5.2018广州一调 已知函数f(x)=2x2x-1+a为奇函数,则实数a=.6.已知f(x)=asinx+b3x+4,若f(lg3)=3,则flg13=()A.13B.-13C.5D.87.2018石家庄一模 设f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,且在-2b,0上为增函数,则f(x-1)f(3)的解集为()A.-3,3B.-2,4C.-1,5D.0,68.已知函数f(x)满足条件:xR,f(x)+f(-x)=0且f(x+t)-f(x)0),则函数f(x)的解析式可能是()A.f(x)=xsin
3、x+3B.f(x)=x3C.f(x)=-sinxD.f(x)=-3x9.2018漳州二检 已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)-f(5)=()A.-4B.-2C.2D.410.已知f(x)是偶函数,且在0,+)上函数f(x)=34x,0xfa2+2a+52B.f-320;函数f(x+2)的图像关于y轴对称.若a=f(4.5),b=f(6.5),c=f(7),则a,b,c的大小关系为.12.2018上饶模拟 已知f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递增,若f(a-3)f(4),则a的取值范围为.13.设f(x)是定义在R上的奇函数,且
4、对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x0,2时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x2,4时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+f(2018)的值.14.已知f(x)=px2+23x+q是奇函数,且f(2)=53.(1)求实数p,q的值;(2)判断函数f(x)在(-,-1)上的单调性,并加以证明.15.已知定义在R上的奇函数f(x)在0,+)上单调递减,若当x-1,2时,f(x3-2x+a)f(x+1)恒成立,则a的取值范围为()A.(-3,+)B.(-,-3)C.(3,+)D.(-,3)16.2018潍坊模拟 设函数f(x)(xR
5、)满足f(x-)=f(x)-sinx,当-x0时,f(x)=0,则f20183=.课时作业(六)1.D解析 函数y=cos2x2在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,且函数y=cos2x2为偶函数,而函数y=-x2+2也在-1,0上单调递增,在0,1上单调递减,且函数y=-x2+2也为偶函数,故选D.2.A解析 因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)的图像关于y轴对称,而把f(x+1)的图像向右平移1个单位长度可得f(x)的图像,故f(x)的图像关于直线x=1对称,故选A.3.D解析 由题设有f(-x)=m-xm-x+1-2018tanx+x2=1mx+1-2018tanx+x2,故有
6、f(x)+f(-x)=1+2x2,所以f(1)+f(-1)=3,从而f(-1)=0,故选D.4.-2解析 由f(x+3)=f(x-3),可得f(x+6)=f(x),所以函数f(x)的周期是6.由f(-x)=f(x),得函数f(x)为偶函数,则f(2018)=f(2)=f(-2)=-2.5.-12解析f(x)=2x2x-1+a为奇函数,f(1)+f(-1)=0,即2+a-1+a=0,a=-12.6.C解析f(x)=asinx+b3x+4,f(x)+f(-x)=8,又lg13=-lg3,f(lg3)+flg13=8,flg13=5,故选C.7.B解析f(x)是定义在-2b,3+b上的偶函数,2b=
7、3+b,b=3.函数f(x)在-6,0上为增函数,f(x)在0,6上为减函数,f(x-1)f(3),即|x-1|3,故-2x4.故选B.8.D解析f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.f(x+t)-f(x)0,f(x+t)0,f(x)在R上为减函数,f(x)是奇函数且在R上是减函数.对于A,f(x)=xsinx+3为偶函数,该选项不合题意;对于B,f(x)=x3在R上为增函数,该选项不合题意;对于C,f(x)=-sinx在R上不单调,该选项不合题意;对于D,f(x)=-3x为奇函数,且在R上为减函数,该选项符合题意.故选D.9.D解析 由题意,得f(8)=f(2+
8、6)=f(2)=3,f(5)=f(-1+6)=f(-1)=-f(1)=-1,则f(8)-f(5)=4.10.C解析 根据题意,在0,+)上函数f(x)=(34)x,0x1,3-94x,x1,则函数f(x)在0,+)上为减函数.又f(x)是偶函数,f-32=f32,由a2+2a+52=(a+1)2+3232,得f32fa2+2a+52,即f-32fa2+2a+52.故选C.11.ac0,所以f(x)在0,2上为增函数;因为函数f(x+2)的图像关于y轴对称,所以f(x)的图像关于直线x=2对称;因为f(x+2)+f(x)=1,所以f(x+4)+f(x+2)=1,即f(x+4)=f(x),所以f(
9、x)的周期为4.因此a=f(4.5)=f(0.5),b=f(6.5)=f(2.5)=f(1.5),c=f(7)=f(3)=f(1),因为f(0.5)f(1)f(1.5),所以acb.12.(-1,7)解析f(x)是R上的偶函数,且在0,+)上单调递增,不等式f(a-3)f(4)等价于|a-3|4,即-4a-34,得-1a7,即a的取值范围是(-1,7).13.解:(1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x-2,0时,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,-f(x)=f
10、(-x)=-2x-x2,当x-2,0时,f(x)=x2+2x.又当x2,4时,x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,当x2,4时,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,当x2,4时,f(x)=x2-6x+8.(3)易知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,
11、f(0)+f(1)+f(2)+f(2018)=f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(0)+f(1)+f(2)=1.14.解:(1)因为f(x)=px2+23x+q是奇函数,所以定义域关于原点对称,所以q=0,所以f(x)=px2+23x.又f(2)=53,所以4p+26=53,解得p=2.(2)由(1)知f(x)=2x2+23x,则f(x)在(-,-1)上是增函数.下面给出证明:任取x1x2-1,则f(x1)-f(x2)=2x12+23x1-2x22+23x2=2(x2-x1)(1-x1x2)3x1x2.因为x1x20,1-x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f
12、(x2),所以函数f(x)在(-,-1)上是增函数.15.C解析定义在R上的奇函数f(x)在0,+)上单调递减,f(x)在R上是减函数.若当x-1,2时,f(x3-2x+a)x+1恒成立,即a-x3+3x+1恒成立.设g(x)=-x3+3x+1(x-1,2),令g(x)=-3x2+3=0,得x=1.在-1,1)上,g(x)0,g(x)是增函数;在1,2上,g(x)0,g(x)是减函数.故g(x)的最大值为g(1)=3,a3.故选C.16.32解析f(x-)=f(x)-sinx,f(x)=f(x-)+sinx,则f(x+)=f(x)+sin(x+)=f(x)-sinx,f(x+)=f(x-)+sinx-sinx=f(x-),即f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为2,f20183=f672+23=f23=f-3+sin23.-x0时,f(x)=0,f20183=0+sin23=32.