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1、3.1.2 空间向量的基本定理,第三章 3.1 空间向量及其运算,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 共线向量定理与共面向量定理 1.共线向量定理 两个空间向量a，b( )，ab的充要条件是 ，使 . 2.向量共面的条件 (1)向量a平行于平面的定义 已知向量a，作 a，如果a的基线OA ，
2、则就说向量a平行于平面，记作 . (2)共面向量的定义 平行于 的向量，叫做共面向量. (3)共面向量定理 如果两个向量a，b ，则向量c与向量a，b共面的充要条件是_ ，使 .,存在唯一的实数x,b0,axb,平行于平面或在内,a,同一平面,不共线,存在唯一的,一对实数x，y,cxayb,知识点二 空间向量分解定理 1.空间向量分解定理 如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，_ _，使_. 2.基底 如果三个向量a，b，c是三个_，则a，b，c的线性组合_ 能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个_，记作_，其中a，b，c都叫做_.表达式xaybzc，叫做向量a，b，c的
3、_ _或_.,不共面,存在一个唯一的有序,实数组x，y，z,pxaybzc,不共面的向量,xaybzc,基底,a，b，c,基向量,线性表示,式,线性组合,1.向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.( ) 2.若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有ae1e2(，R).( ) 3.若ab，则存在唯一的实数，使ab.( ) 4.对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组1，2，3使01a12a23a3.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D
4、.A，C，D,题型一 向量共线问题,所以A，B，D三点共线.,即7e1(k6)e2xe1xke2， 故(7x)e1(k6xk)e20， 又e1，e2不共线，,1,反思感悟 (1)判断向量共线的策略 熟记共线向量的充要条件：()若ab，b0，则存在唯一实数使ab；()若存在唯一实数，使ab，b0，则ab. 判断向量共线的关键：找到实数. (2)证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线.,求证：E，F，B三点共线.,题型二 空间向量共面问题,反思感悟 (1)利用四点共面求参数 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向
5、量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值. (2)证明空间向量共面或四点共面的方法 向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面.,用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.,题型三 空间向量分解定理及应用,例3 如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中， P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量.,解 连接AC，AD.,反思感悟 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确
6、定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.,解 H为OBC的重心，D为BC的中点，,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,空间共线向量定理的应用,典例 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CEMN.,证明 M，N分别是AC，BF的中点， 又四边形ABCD，AB
7、EF都是平行四边形，,C不在MN上，CEMN.,3,达标检测,PART THREE,1.给出下列几个命题： 向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面； 零向量的方向是任意的； 若ab，则存在唯一的实数，使ab. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,解析 假命题.三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； 真命题.这是关于零向量的方向的规定； 假命题.当b0，则有无数多个使之成立.,1,2,3,4,5,2.对于空间的任意三个向量a，b,2ab，它们一定是 A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量,解析 2ab2a(1)b， 2ab与a，b共面.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,8,1,2,3,4,5,5.以下命题： 两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； 共线的两个向量互相平行； 共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； 共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量. 其中正确命题的序号是_.,解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知正确.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,