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1、高中数学选修2-1精品课件,3.2.5 距离（选学）,第三章 空间向量与立体几何,启动思维,在平面几何中，我们曾经学习过距离的求法. 在平面直角坐标系中，我们利用坐标和直线的方程 研究了点到点、点到直线、直线到直线的距离， 在立体几何中，还有那些距离问题？它们的定义是怎样的？ 如何利用向量进行求解呢？,走进教材,1.距离的概念： 在几何学中，我们经常碰到要计算两个图形之间的距离. 一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小距离， 叫做图形与图形之间的距离. 计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量的最基本的课题. 计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.,2.点到平面的
2、距离 过平面外一点P有惟一的一条直线PA，设A是垂足， B是内异于A的任一点，由PAB是直角三角形可得PAPB， 这就是说，连结平面外一点P与内一点的所有线段中， 垂线段PA最短. 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到这个平面的距离.,P,A,3.直线与平面的距离 我们知道，如果一条直线平行于平面， 则直线上各点到平面所作的垂线段相等， 即各点到的距离相等，一条直线上的任一点， 与它平行的平面的距离叫做直线与平面的距离.,线面距,点面距,4.两平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线， 公垂线夹在平行平面间的部分，叫做平行平面的公垂线段.,面面距,点面距,典例导
3、航,题型一：点到平面的距离,例1 如图所示，四棱锥PABCD中，PA面ABCD，底面ABCD是直角梯形，BADABC90，PAAD2，ABBC1，试问在线段PA上 是否存在一点M，到平面PCD的距离为 3 3 ？若存在，试确定M点的位置； 若不存在，请说明理由,解：如图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设直线AP上有一点M(0,0，z0)符合题意,设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，,n(1,1,1)，n0 |n| n( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ) 点M到面PCD的距离为d|n0 MP | 3 3 |2z0|，
4、d 3 3 ，可解得z03或z01.,令z1，得x=1，y=1.,则由,n PC =0， n PD =0，,得,x+y-2z=0， 2y-2z=0，,当z03时，M(0,0,3)在线段AP延长线上，故舍去； 当z01时，M(0,0,1)是线段AP的中点 综上可知，线段AP的中点到平面PCD的距离为 3 3 . 故线段PA上存在M点，到平面PCD的距离为 3 3 ，M为线段PA的中点,变式训练,1.已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点 (1)求证：E、F、D、B共面；(2)求点A1到平面的DBEF的距离,解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为
5、2， 则知A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，E(1,2,2)，F(0,1,2) (1)证明 由 BD (2，2,0)， EF (1，1，0)， 得 EF 1 2 BD ， EF BD ，EFDB， E、F、D、B共面,(2)设n(x，y，z)是平面DBEF的法向量 由n DB =0，n DF =0， DB (2,2,0)， DF (0，1，2) 令y2，得n(2,2，1)，又 DA 1(2,0,2)， 则A1到平面DBEF的距离d | DA 1| | 2.,典例导航,题型二：直线到平面的距离,例2 四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形， PD平面ABCD，PDDA2
6、，F、E分别为AD、PC的中点 (1)证明：DE平面PFB；(2)求DE到平面PFB的距离,(1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系， 则P(0,0,2)、F(1，0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1) FP (1,0,2)， FB (1,2,0)， DE (0,1,1)， DE 1 2 FP 1 2 FB ， 又D平面PFB，DE平面PFB.,(2)解：DE平面PFB， DE到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离 设平面PFB的一个法向量为n(x，y，z)， 则n FB =0， n FP =0 x+2y=0，-x+2z=0， 令x2，得y1，z1， n(2，1,1)， FD
7、(1，0,0)， 点D到平面PFB的距离d | FD | | 6 3 . 则DE到平面PFB的距离为 6 3 .,变式训练,2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1， AB4，BC3，CC12. (1)求证：直线CD1平面A1BC1； (2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离,(1)证明：因为C(0，4，0)，D1(0，0，2)，B(3，4，0)， A1(3，0，2)，C1(0，4，2)， 所以 CD1 (0，4，2)， BA1 (0，4，2)， BC1 (3，0，2)， BC (3，0，0),因为 CD1 BA1 ，所以CD1BA1， 又因为CD1在平面A1BC1内，
8、 BA1在平面A1BC1外，所以CD1平面A1BC1. (2)解：设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)， 则n BA1 =0， n BC1 =0 -4x+2y=0，-3x+2z=0， 取z6，则x4，y3，n(4，3，6)， 则 BC n(3，0，0)(4，3，6)12，|n| 61 . 所以直线CD1到平面A1BC1的距离为：d | BC | | 12 61 61 .,题型三：平面到平面的距离,例3 在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形， OA底面ABCD，OA2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点. 求：平面MNR与平面OCD的距离,解：因为M，R分别为AO，AD
9、的中点， 所以MROD.在正方形ABCD中，N，R分别为 BC，AD的中点，所以NRCD. 又MRNRR，所以平面MNR平面OCD. 所以平面MNR与平面OCD的距离等于 点N到平面OCD的距离.,如图建立所示的空间直角坐标系, 则O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0), N(2，1，0) 所以 NC (0，1，0)， OD (0，2，2)， CD (2，0，0). 设平面OCD的法向量为n(x，y，z)， 则n OD =0， n =0，2y-2z=0，-2x=0， 令z1，得n(0，1，1). 所以点N到平面OCD的距离 d| | NC | | | 2 2 . 所以平面MNR与
10、平面OCD的距离等于 2 2 .,变式训练,3.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，EB11，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离,(1)证明：如图建立空间直角坐标系， 设A1(a,0,0)，则C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)， A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G( 2 ，1,0), B1D (0,2,2)， AB (a,0,0)， BD (0,2，2)， B1D AB 0
11、000， B1D BD 0440. B1DAB，B1DBD 又ABBDB，B1D平面ABD (2)解： AB (a,0,0)， BD (0,2，2)， GF (，0,0)， EF (0,1，1) GFAB，EFBD又GFEFF，ABBDB， 平面EGF平面ABD,(3)解：由(1)、(2)知DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段 设 B1H B1D (0,2，2)，则 EH (0,2，21)， EF (0,1，1) EH 与 EF 共线， 2 1 21 1 ，即 1 4 ， B1H (0， 1 2 ， 1 2 )， HD (0， 3 2 ， 3 2 )， | HD | 3 2 2 ，因此，平面EGF与平面ABD的距离为 3 2 2 .,归纳小结,空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、 线到面、面到面之间的距离 其中以点到面的距离最为重要，其他距离， 如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离,