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1、第1讲 计数原理与排列组合 第九章 概率与统计 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 5.能解决简单的实际问题. 1.分类加法原理与分步乘法原理 m1m2mn (1)分类加法原理：做一件事，完成它有n类办法，在第 一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同 的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有Nm1m2mn种不同的方法. (2)分步乘法原理：做一件事，完成它要分成n个步骤， 缺一不可，在第一个步骤
2、中有m1种不同的方法，在第二个步 骤中有m2种不同的方法，在第n个步骤中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有N_种不 同的方法. 2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 n！ (nm)！ n！1 3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 1 1.(2014 年辽宁)6 把
3、椅子摆成一排，3 人随机就座，任何 2 人不相邻的坐法种数为()D B A.144 种 C.72 种 B.120 种 D.24 种 2.(2014 年四川)6 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲 或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有() A.192 种 C.240 种 B.216 种 D.288 种 3.(2018 年新课标)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科 技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种. (用数字填写答案) _种.(用数字作答) 16 480 4.6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 考点 1 排列问题 例 1：7 位同学站成一排：
4、(1)共有多少种不同的排法？ (2)站成两排(前 3 后 4)，共有多少种不同的排法？ (3)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种？ (6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？ (10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (
5、13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？ (15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ (16)甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有： 方法一，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 方法二，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 方法三，将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素， 因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置 【规律方法】(1
6、)对有约束条件的排列问题，应注意如下 类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置； 某些元素要求连排(即必须相邻)； 某些元素要求分离(即不能相邻). (2)基本的解题方法： 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法)； 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个 元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种 方法称为“捆绑法”； 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些 不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形 式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问
7、题的根基. 【互动探究】 D 1.(2017 年新课标)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人 至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 () A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种 2.将 7 个座位连成一排，安排 4 个人就座，恰有两个空位 相邻的不同坐法有() A.240B.480C.720D.960 B 考点 2 组合问题 例 2：从 4 名男同学和 3 名女同学中，选出 3 人参加学校 的某项调查，求在下列情况下，各有多少种不同的选法？ (1)无任何限制； (2)甲、乙必须当选； (3)甲、乙都不当选； (4)甲、乙只有一人当选； (5)甲、乙至少有
8、一人当选； (6)甲、乙至多有一人当选. 思维点拨：此题不讲究顺序，故采用组合数. 【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化： “含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将 这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取； “至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必 须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义，谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类 复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【互动探究】 75 3.某校开设 9 门课程供学生选修，其中 A，B，C 三门由于 上课时间相同，至多选一门.学校规定，每位
9、同学选修 4 门，共 有_种不同的选修方案(用数值作答). 考点 3 排列组合中的平均分配问题 例 3：六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)平均分成三堆，每堆两本； (2)平均分给甲、乙、 丙三人，每人两本； (3)一堆一本，一堆两本，一堆三本； (4)甲得一本，乙得两本，丙得三本； (5)一人得一本，一人得两本，一人得三本. 【规律方法】解决分组分配问题的策略： (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序 如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (n 为均分的组 数)，避免重复计数. (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶 乘数，即若有 m 组
10、元素个数相等，则分组时应除以m！，一个 分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列 数. (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何 组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数. 【互动探究】 C 4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教，每所学校至少 安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排 方法有() A.42 种B.36 种C.30 种D.25 种 5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有_种不同的
11、分派方法.90 思想与方法 分类讨论思想在排列组合问题中的应用 例题：(1)(2018 年云南昆明高三质检)某小区一号楼共有 7 层，每层只有 1 家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天 至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家 有快递，则在同一天这 7 家住户有无快递的可能情况共有 _种. 答案：12 (2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四 位数.(用数字作答) 答案：1260 【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性. 【互动探究】 6.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，则 3 位男生中 有且只有 2 位男生相邻的概率为_.