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1、32.3空间的角的计算山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？提示：设异面直线AC与BD所成的角为，则cos |cos，|.问题2：如何求斜线BD与地面所成角？提示：设地面的法向量为n，则sin |cos，n|. 问题3：如何求水平地面与斜坡面所成的二面角？提示：cos cos，异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为，它们的方向向量
2、分别为a、b.则cos 直线与平面所成的角设直线和平面所成的角为，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sin 二面角的平面角设二面角l的锐二面角大小为，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cos 对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识(1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是；(2)设在平面内的射影为，且直线AB与平面的夹角为，则|cos ；(3)平面的法向量n与所成的锐角1的余角就是直线AB与平面所成的角利用空间向量求异面直线所成的角例1如图所示，三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1
3、所成的角的余弦值的大小思路点拨，坐标cos，.精解详析建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)cos，.异面直线A1B与AO1所成的角的余弦值为.一点通求异面直线所成的角的方法及关注点：(1)方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角(2)关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算1.如图所示，已知在四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，A
4、BAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成的角的余弦值解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，(1)证明：(0,0,1)，(2,0,0)，(1，0)0，0，OABD，OABC.又BDBCB，AO平面BCD.(2)(1,0,1)，(1，0)cos，异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.2.已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的所有棱长都是1，且A1ABA1ADBAD60，求直线AC1与AC所成角的余弦值解：，|2222222111211cos 6036，|22221113，|，|.()()2
5、2 114，cos，即AC1与AC所成角的余弦值为.求线面角例2(湖南高考)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值思路点拨以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(1)求出和，证明0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量精解详析(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,
6、0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.一点通利用向量法求直线与平面所成角的解题步骤为：(1)根据题设条件、图形特征建立适当的空间直
7、角坐标系；(2)得到相关点的坐标，进而求出相关向量的坐标；(3)利用公式cosa，b，进行计算，其中向量a是直线的方向向量，b可以是平面的法向量，也可以是直线在平面内射影的方向向量；(4)将a，b转化为所求的线面角3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小解：(1)证明：根据题意，CA、CB、CC1两两垂直，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBCCC1a，则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，A(
8、a，0,0)，C(0,0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N.所以(a，a，a)，(a,0，a)，.于是0，0，即MNBA1，MNCA1.又BA1CA1A1，故MN平面A1BC.(2)因为MN平面A1BC，则为平面A1BC的法向量，又(0，a，a)，则cos，所以，60.故直线BC1和平面A1BC所成的角为30.4如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：(1)证明：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
9、线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系Hxyz如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0)，D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0,0,1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，则即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.求二面角例3(江苏高考)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所
10、成二面角的正弦值思路点拨(1)先建系求出A1B和C1D的方向向量，再求其余弦值；(2)求出平面ADC1与平面ABA1的法向量，用向量法求余弦值再转化为正弦值精解详析(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是
11、平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.一点通用向量法求二面角的大小时，应注意两个问题：一是建系后两个平面的法向量求解正确；二是求出了两法向量夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角大小5(天津高考)如图， 四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 侧棱A1A底面ABCD，AB/DC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE; (2)求二面角B1CEC1的正弦值
12、(3)设点M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长解： 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)可知(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sin m，
13、.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)(0,1,0)，(1,1,1)设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，| .于是，解得，所以AM.6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标为A(0,0
14、,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，BFEFF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28.设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos |cosn1，n2|，45，平面BEF与平面BAP的夹角为45.1两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角2直线的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面成角为，则si
15、n |cosu，n|，不要漏了绝对值符号3利用两平面的法向量n1，n2求出cosn1，n2后要根据图形判断二面角是锐角还是钝角对应课时跟踪训练(二十五) 1已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为_解析：(2，2，1)，(2，3，3)，cos，.直线AB，CD所成角的余弦值为.答案：2棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.，cos，故异面直线AM与CN所成
16、角的余弦值为.答案：3PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，则二面角APBC的余弦值为_解析： 如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1，1)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则m(1，0)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则n(0，1，1)，cosm，n.答案：4(大纲全国卷改编)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,
17、0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案：5已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是_解析：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)所以(1,0,1)，.设平面AEFD1的法
18、向量为n(x，y，z)，则取y1，则n(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u(0,0,1)，cosn，u.答案：6.如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点F是AE的中点求AB与平面BDF所成角的正弦值解：以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)，(2,0,0)设平面BDF的一个法向量为n(2，a，b)，n，n，即解得a1，
19、b2.n(2,1，2)又设AB与平面BDF所成的角为，则sin .即AB与平面BDF所成角的正弦值为.7(江西高考)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连结CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值解：(1)证明：在ABD中，因为E是BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD.因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG
20、.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的一个法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的一个法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos .8.如图，在几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EAAB，M是EC的中点，EADAAB2CB.(1)求证：DMEB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值解：以直线AE、AB、AD为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设CBa，则A(0,0,
21、0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M(a，a，)，(1)证明：(a，a，)，(2a,2a,0)，a(2a)a2a00，即DMEB.(2)(0,2a,0)，(2a，2a，a)，设异面直线AB与CE所成的角为，则cos .即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.(3)DA平面EAB，AD平面DAB，平面DAB平面EAB，EA平面EAB，平面EAB平面DABAB，EAAB.EA平面DAB.(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量设平面MBD的一个法向量为n(x，y，z)，(a，a，)，(0，2a,2a)，则即令za，则n，设二面角MBDA的平面角为，则cos .即二面角MBDA的余弦值为.