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1、第二章基本初等函数()2.3幂函数学习目标掌握幂函数的形式特征及具体幂函数的图象和性质;能应用幂函数的图象和性质解决有关的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境请看下列问题,并将每个问题中的y表示成x的函数.1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克,那么她需要支付y=(x0)元;2.如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=(x0);3.如果立方体的边长为x,那么立方体的体积y=(x0);4.如果一个正方形场地的面积为x,那么这个正方形场地的边长y=(x0);5.如果某人以x m3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水,那么他注水的时间y=(x0).二、自主探索,尝试解决思考:1.以上是我
2、们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现几个解析式结构上的共同特征吗?2.根据我们学习的函数的概念,你能不能判断它们能否构成函数?是我们学习过的哪类函数?如果不是,你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字?幂函数的定义(形式定义):请同学们举出一个具体的幂函数.三、信息交流,揭示规律y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1,y=x-2.请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.总结函数性质,填写表格.y=x3y=x2y=xy=x12y=x-1y=x-2定义域值域奇偶性单调性定点性质总结如下:00在(0,+)有定义,图象过点(1,1)在0,+)上是增函数在(0,+)上是减函
3、数图象过原点在第一象限内,当x从右边趋向于0时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴四、运用规律,解决问题【例1】比较下列两个代数式值的大小:(1)2.334,2.434;(2)(2)-32,(3)-32;(3)(a+1)1.5,a1.5;(4)(2+a2)-23,2-23.【例2】讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.思考与讨论:幂函数y=x(R),当=1,3,5,(正奇数)时,函数有哪些性质?【例3】证明幂函数f(x)=x在0,+)上是增函数.五、变式演练,深化提高1.下列函数中,是幂函数的是()A.y=-x12B
4、.y=3x2C.y=1xD.y=2x2.下列结论正确的是()A.幂函数的图象一定过(0,0)和(1,1)B.当0时,幂函数y=x是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数3.函数y=x35的图象大致是()4.幂函数y=x34的单调递增区间是.5.a=1.212,b=0.9-12,c=1.112的大小关系是.6.幂函数f(x)=axm2-8m(mZ)的图象与x轴和y轴均无交点,并且图象关于原点对称,求a和m.六、反思小结,观点提炼1.2.3.七、作业精选,巩固提高1.课本P79习题2.3.2.下列函数中,是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x3C.y=1xD.y=xx3.下列函数中,在(
5、-,0)上是增函数的是()A.y=x3B.y=x2C.y=1xD.y=x324.已知某幂函数的图象经过点(2,2),求函数的解析式.参考答案一、设计问题,创设情境1.x2.x23.x34.x125.x-1二、自主探索,尝试解决幂函数的定义(形式定义):一般地,函数y=x(R)叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.y=x-1,y=x12,y=x4,y=x0,y=x-3等.三、信息交流,揭示规律y=x3y=x2y=xy=x12y=x-1y=x-2定义域RRR0,+)x|x0x|x0值域R0,+)R0,+)y|y0(0,+)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数偶函数单调性递增在( -,0)减递增0,
6、+)增在(-,0)减在(-,0)增在(0,+)增在(0,+)减在(0,+)减定点(1,1)四、运用规律,解决问题【例1】解:考查幂函数y=x34,因为y=x34在(0,+)上单调递增,而且2.32.4,所以2.334(3)-32;(3)(a+1)1.5a1.5;(4)(2+a2)-232-23.【例2】解:要使y=x23=3x2有意义,x可以取任意实数,故函数定义域为R.f(-x)=(-x)23=x23=f(x),函数y=x23是偶函数;x01234y011.592.082.52其图象如图所示.幂函数y=x23在0,+)上单调递增,在(-,0)上单调递减.思考与讨论:定义域为R,值域为R,是奇函数,在(-,+)上是增函数.【例3】证明:任取x1,x20,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2,因为x1-x20,所以x1-x2x1+x20.所以f(x1)bc6.a=1,m=1,3,5,7六、反思小结,观点提炼1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别;2.常见幂函数的图象和性质;3.幂函数性质的应用.七、作业精选,巩固提高2.C3.A4.y=x12