《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.1.1 曲线与方程的概念 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.1.1 曲线与方程的概念 Word版含解析.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法知识点曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)0的解；以方程F(x，y)0
2、的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程F(x，y)0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C的点集和方程F(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则1曲线l的方程是
3、F(x，y)0.()2方程F(x，y)0的曲线是l.()3坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线l上()4坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线l上()题型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度1曲线与方程的判定例1已知坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合F(x，y)0B凡坐标不适合F(x，y)0的点都不在曲线C上C不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)0D不在曲线C上的点的坐标有些适合F(x，y)0，有些不适合F(x，y)0答案C解析“不在曲线C上的点的坐标必不适合F(x，y)0”是“坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上”的逆否命题所以C正确
4、反思感悟解决“曲线”与“方程”的判定问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练1设方程F(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A坐标满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)0C坐标满足方程F(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F(x，y)0答案D解析“坐标满足方程F(x，y)0的点都在
5、曲线C上”不正确，即“坐标满足方程F(x，y)0的点不都在曲线C上”是正确的“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错，B显然错命题角度2曲线与方程的概念应用例2证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xyk.证明如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|y0|k，即(x0，y0)是方程xyk的解设点M1的坐标(x1，y1)是方程xyk的解，则x1y1k，即|x1|y1|k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点由
6、可知，xyk是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程反思感悟解决此类问题要从两方面入手(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪训练2写出方程(xy1)0表示的曲线解由方程(xy1)0可得或0.即xy10(x1)或x1，方程表示直线x1和射线xy10(x1)题型二曲线与方程关系的应用例3已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲
7、线上，求m的值解(1)12(21)210，()2(31)2610，P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上(2)M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210，解得m2或m.引申探究本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围解结合点与圆的位置关系，得a2(21)210，即a29，解得a3，故所求实数a的取值范围为(，3)(3，)反思感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围解曲线y2xy2xk0过点(a，a)
8、，a2a22ak0.k2a22a22.k，k的取值范围是.由方程判断曲线典例方程(xy1)0所表示的曲线的轨迹是()考点题点答案D解析原方程等价于或x2y24.其中当xy10时，需有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线xy10上不在圆x2y24内的部分；当x2y24时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.素养评析(1)由具体的方程判断曲线的步骤(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养1方程y3x2 (x1)表示的曲线为()A一条直线 B一条射线C一条线段 D不能确定答案B解析方程y3x2表示的曲线是一条直线，当x1时，它表示一条射线2方程x
9、y2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线xy0对称答案C解析同时以x代替x，以y代替y，方程不变，所以方程xy2x2y2x所表示的曲线关于原点对称3方程4x2y26x3y0表示的图形为_答案两条相交直线解析原方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30，原方程表示直线2xy0和直线2xy30.4若曲线ax2by24过点A(0，2)，B，则a_，b_.答案41解析曲线过A(0，2)，B两点，5方程(x24)2(y24)20表示的图形是_答案4个点解析由题意，得或或或方程(x24)2(y24)20表示的图形是4个点1判断点是否在某个方程表
10、示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题一、选择题1“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析结合曲线方程的定义易得2若曲线C的方程为y2x1(1x5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A(0,0) B(7,15) C(2,3) D(4,4)答案C解析由y2x1(1x5)得A，B的横坐标不满足题意，D项中坐标代入后不满
11、足方程，故选C.3方程|x|y|xy|1表示的曲线是()A一条直线 B一个正方形C一个圆 D四条直线答案D解析由|x|y|xy|1得(|x|1)(|y|1)0，即x1或y1，因此该方程表示四条直线4下列方程对应的曲线是同一条曲线的是()yalogax；y；ylogaax；y.A B C D答案B解析由ylogaaxx，yx，得表示同一条曲线5过坐标原点O作单位圆x2y21的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得ab(a，bR)，则以下说法正确的是()A点P(a，b)一定在单位圆内B点P(a，b)一定在单位圆上C点P(a，b)一定在单位圆外D当且仅当ab0时，点P(a，b)在单
12、位圆上答案B解析2(ab)2，且，a2b22aba2b21，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.6方程|x|y|0表示的图形是下图中的()答案C解析由|x|y|0知yx，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线7关于方程x(x2y21)0和x2(x2y21)20所表示的图形叙述正确的是()A表示的图形都是一条直线和一个圆B表示的图形都是两个点C前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点D前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆考点曲线与方程的意义题点方程是否表示同一曲线答案C解析x(x2y21)0x0或x2y21，表示直线x0和圆x2y21.x2(x2y21)20表示点(0,1)，(0
13、，1)故选C.8下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()答案D解析对于A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()Aa1 B0a1C0a1 Da答案A解析 a0，方程ya|x|和yxa(a0)的图象大致如图，要使方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求ya|x|在y轴右侧的斜率大于yxa的斜率，a1.15方程|x1|y1|1表示的曲线所围成的图形的面积是_考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案2解析方程|x1|y1|1可写成或或或图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2.