《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.3.1 双曲线的标准方程 Word版含解析.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题知识点一双曲线的定义1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距2关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在3若将“绝对值”
2、去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支4若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线知识点二双曲线的标准方程1两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2b2c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上3当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2By21(ABb.()4平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定
3、点间距离)的点的轨迹是双曲线()题型一求双曲线的标准方程例1(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和，求双曲线的标准方程；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)解(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得双曲线的标准方程为1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.反思感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，
4、但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得 (舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P，Q两点坐标分别代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.(2)依题意可设双曲线的方程为1(a0，b0)则有解得所求双曲线的标准方程为y21.题型二双曲线定义的应用命题角度1双曲线中的焦点三角形问题例2若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积考点双曲
5、线的定义题点双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，则|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，所以F1PF290，故|PF1|PF2|3216.引申探究将本例(2)
6、中的条件“|PF1|PF2|32”改为“F1PF260”，求F1PF2的面积解由1得a3，b4，c5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|PF1|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，所以|PF1|PF2|sinF1PF26416.反思感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；利用公式|PF1|PF2|s
7、inF1PF2求得面积(2)方法二：利用公式|F1F2|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积跟踪训练2已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案2解析不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以|F1F2|2|PF1|2|PF2|2(2)2，又|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.命题角度2利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3在AB
8、C中，已知A(2，0)，B(2，0)，且内角A，B，C满足sin Bsin Asin C，求顶点C的轨迹方程考点求与双曲线有关的轨迹方程题点双曲线的一支解由sin Bsin Asin C及正弦定理，可得|CA|CB|，从而有|CA|CB|AB|2)反思感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支跟踪训练3如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外
9、切，求动圆圆心M的轨迹方程考点求与双曲线有关的轨迹方程题点双曲线的一支解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1.题型三由双曲线方程求参数例4若方程1表示双曲线，那么m的取值范围是_答案m|3m3解析依题意有或解得3m3.所以m的取值范围是m|3m3反思感悟方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程1，当mn0，n0时表
10、示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0，所以(k1)(k1)0，所以1k0时，方程可化为1，则c2k，即26，故k6.当k0时，方程可化为1，则c2，故26，解得k6.综上所述，k6或6.双曲线在生活中的应用典例“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P为航天员着陆点某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4
11、秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角解因为|PC|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上又因为|PB|PA|42)，BC的垂直平分线方程为xy70.联立两方程解得x8(舍负)，y5，所以P(8,5)，kPAtanPAx，所以PAx60，所以P点在A点的北偏东30方向素养评析利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：(1)建立适当的坐标系；(2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题注意：解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用实际应
12、用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围1若椭圆1和双曲线1有相同的焦点，则实数n的值是()A5 B3 C5 D9答案B解析由题意知，34n2n216，2n218，n29.n3.2若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6，即|3|PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选B.3设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A4 B8 C24 D48答案C解析由题意得解得又由|F
13、1F2|10可得PF1F2是直角三角形，则|PF1|PF2|24.4已知双曲线中a5，c7，则该双曲线的标准方程为_答案1或1解析当焦点在x轴上时，方程为1，当焦点在y轴上时，方程为1.5已知圆C：x2y26x4y80，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为_答案1解析令x0，得y24y80，方程无解，即该圆与y轴无交点令y0，得x26x80，解得x2或x4，则符合条件的双曲线中a2，c4，b2c2a216412，且焦点在x轴上，双曲线的标准方程为1.1双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，
14、若|MF1|MF2|2a，则点M在右支上；若|MF2|MF1|2a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用若|MF1|MF2|2a(02a|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线若动点M在双曲线上，则|MF1|MF2|2a.2求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2ny21的形式，为简单起见，常标明条件mn0.一、选择题1双曲线1的焦距为()A3 B4 C3 D4答案D解析由双曲线的
15、标准方程可知，a210，b22.于是有c2a2b212，则2c4.故选D.2双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(3,0)，2b4，则双曲线的标准方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析焦点在x轴上，c3，b2，a.故选A.3已知双曲线1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是()A1 B1 C D.答案B解析由焦点坐标知，焦点在y轴上，m5”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当k5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k5或k0，b0)，则a2b25.线段PF1的中点的坐标为(0,2)，点P的坐标为(，
16、4)，将其代入双曲线的方程，得1.由解得a21，b24，双曲线的方程为x21.6已知双曲线1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为()A3或7 B6或14 C3 D7考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案A解析连接ON，ON是PF1F2的中位线，|ON|PF2|，|PF1|PF2|4，|PF1|10，|PF2|14或6，|ON|PF2|7或3.7已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，且|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2等于()A. B. C. D.答案C解析由双曲线定义知，|PF1|PF2|2， 又|PF1|2|PF2|，|PF
17、2|2，|PF1|4，|F1F2|2c2 4.cosF1PF2.8已知双曲线1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|4，F2为双曲线的右焦点，ABF2的周长为20，则m的值为()A8 B9 C16 D20答案B解析ABF2的周长|AB|AF2|BF2|20，|AB|4，|AF2|BF2|16.根据双曲线定义知，2a|AF2|AF1|BF2|BF1|，4a(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)16412，a3，ma29.故选B.二、填空题9与双曲线1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线方程为_答案1解析双曲线1的焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为1(a0，b0)又两曲
18、线有相同的焦点，a2b2c2426.又点P(2,1)在双曲线1上，1.由得，a2b23，故所求双曲线方程为1.10已知双曲线x2y21，点F1，F2为其左、右焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_答案2解析设P在双曲线的右支上，|PF1|2x，|PF2|x(x0)，因为PF1PF2，所以(x2)2x2(2c)28，所以x1，x21，所以|PF2|PF1|112.11焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为_考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案1解析设焦点F1(c,0)，F2(c
19、,0)(c0)，则由QF1QF2，得kQF1kQF21，1，c5，设双曲线方程为1(a0，b0)，双曲线过点(4，3)，1，又c2a2b225，a216，b29，双曲线的标准方程为1.三、解答题12设F1，F2是双曲线1(a0)的两个焦点，若点P在双曲线上，且0，|2，求双曲线的方程解0，|2|2|220a.又|4.2，得2|4a.|2，a1.双曲线的方程为y21.13已知双曲线1的左、右焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程解(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，则MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义知，mn2a8，又c2，m2n2(2c)280，由得mn8，mn4|F1F2|h，h.(2)设所求双曲线C的方程为1(40，b0)，则有解得所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2，又|F1F2|2，所以在MF1F2中 ，MF1边最长，cos MF2F10，所以MF2F1为钝角，MF2F1为钝角三角形