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1、问题02 函数中存在性与恒成立问题一、考情分析函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选.二、经验分享(1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立.(2) 对于一次函数有：(3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范
2、围转化为求函数值域(4) 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；求在上的最大（或最小）值； 【牛刀小试】【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期测试】函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是_.【解析】的定义域为，且，为奇函数，且在上单调递增，由得，时，时，的最小值为1，实数的取值范围是，故答案为. (二)分离参数法【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由结合条件函数的图象在点处的切线的斜率为,可知,可建立关于的方程：
3、,从而解得；（2）要使对任意恒成立,只需即可,而由（1）可知,问题即等价于求函数的最大值,可以通过导数研究函数的单调性,从而求得其最值：,令,解得,当时,在上是增函数；当时,在上是减函数,因此在处取得最大值,即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题. 【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在上的奇函数满
4、足:当时,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】(五)存在性之常用模型及方法【例5】设函数,且.曲线在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）若存在,使得,求的取值范围.【分析】（1）根据条件曲线在点处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：,；（2）根据题意分析可得若存在,使得不等式成立,只需即可,因此可通过探求的单调性进而求得的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知,则,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断的单调性,从而可以解得的取值范围是.【解析】（1）, 由曲线在点处的切线的斜率为,得, 当时,极小值,不合题意,无解,10分当时,显然有,不
5、等式恒成立,符合题意, 综上,的取值范围是. 6【徐州市第三中学20172018学年度高三第一学期月考】已知函数,若存在唯一的整数,使得成立,则实数的取值范围为_【答案】7【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】若存在xR,使得 （a0且a1）成立,则实数a的取值范围是_【答案】或 且 .【解析】,（3x4）,当3x4=0即时,故舍去当3x40即时, ,令t=3x40, ,所以 1所以a2当3x40即时,令t=3x40,所以a综上,a2或0 a且a1 14【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数（a为常数,e=2718）,且函数处的切线和处的切线互相平行（1）求常数a的值；（2）若
6、存在x使不等式成立,求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问,先利用导数求出函数在处的切线的斜率,再求出函数函数在处的切线的斜率, 根据题意列出等式,解出a的值；第二问,先将转化为, 构造函数, 利用导数判断函数的单调性,求出函数的最值,从而得到m的取值范围（2）可化为,令,则,因为,所以, 故,所以在上是减函数,因此,所以,实数的取值范围是； 16. 【江苏省南师大附中2019届高三年级第一学期期中】已知函数，直线是曲线的一条切线（1）求实数a的值；（2）若对任意的x(0，)，都有，求整数k的最大值【解析】（2） 令F(x)f(x)k(x1)，则根据题意，等价于F(x)0对任意的正数x恒成立.F (x)lnx2k，令F (x)0，则xek2 .当0xek2 ，则F (x)0，F(x)在（0，ek2）上单减；当xek2 ，则F (x)0，F(x)在（ek2，）上单增.所以有F(x)F(ek2) 0，即ek2k10.当k3，容易验证，ek2k10； 下证：当k4，ek2k10成立.