2019艺考生文化课冲刺点金-数学课件：第三章 专题七 圆锥曲线 .pdf

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1、专题七专题七 圆锥曲线圆锥曲线 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、是高考的重点、 热点和难点热点和难点.通过以二次曲线为载体通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、与平面向量、导数、数列、 不等式、平面几何等知识进行综合不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法结合数学思想方法,并与高等并与高等 数学基础知识融为一体数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力考查学生的数学思维能力及创新能力,其其 设问形式新颖、有趣、综合性很强设问形式新颖、有趣、综合性很强.从近年来的高考命题来看从近年来的高考命题来看,主主 要涉

2、及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问 题、参数范围问题题、参数范围问题;以及与平面几何、函数、不等式、三角函数以及与平面几何、函数、不等式、三角函数 的综合的综合. 这部分的题目难度较大这部分的题目难度较大,特别是对艺术类考生而言特别是对艺术类考生而言.因此因此,考生考生 在复习时可以酌情选做在复习时可以酌情选做. 历年高考命题分析历年高考命题分析 年份年份 试卷类型试卷类型 20142015201620172018 新课标新课标卷卷1212 新课标新课标卷卷1212121212 新课标新课标卷卷121212 【近近5年新课标

3、卷考点统计年新课标卷考点统计】 典例解析典例解析 【例例】 已知双曲线已知双曲线E: (a0)的中心为原点的中心为原点O,左右焦左右焦 点分别为点分别为F1、F2,离心率为离心率为 ,点点P是直线是直线上任意一点上任意一点,点点 Q在双曲线在双曲线E上上,且满足且满足 (1)求实数求实数a的值的值; 22 3 5 1:, 4 ( )5. 5 c Eca a ca 解 设双曲线 的半焦距为 由题意可得解得 22 2 1 4 xy a 3 5 5 2 3 a x 22 0.PF QF 【解析解析】 本题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆本题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆 锥曲线

4、的位置关系等知识锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与考查数形结合、化归与转化、函数与 方程的数学思想方法方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力以及推理论证能力和运算求解能力. 【例例】 已知双曲线已知双曲线E: (a0)的中心为原点的中心为原点O,左右焦左右焦 点分别为点分别为F1、F2,离心率为离心率为 ,点点P是直线是直线上任意一点上任意一点,点点 Q在双曲线在双曲线E上上,且满足且满足 (2)证明证明:直线直线PQ与直线与直线OQ的斜率之积是定值的斜率之积是定值; 22 2 1 4 xy a 3 5 5 2 3 a x 22 0.PF QF 2 200 2

5、20000 22 22 00 0000 2 0000 2 0 000 55 2:1,3,0 ., , 333 54 0,3 ( )( )()() , () () ()() ( 3,0.3 . 33 4 ,1,5 . 545 55 3 ) 3 ( PQOQ a xFPt Q xy PF QFtxytyx xy Q xyEyx ytyyty kk x xxx 证明 由可知 直线点设点 因为所以所以 因为点在双曲线 上 所以即 所以 2 00 2 00 44 (5)(3) 4 53 . 5 5 3 4 . 5 xx xx PQOQ 所以直线与直线的斜率之积是定值 【例例】 已知双曲线已知双曲线E:

6、(a0)的中心为原点的中心为原点O,左右焦左右焦 点分别为点分别为F1、F2,离心率为离心率为 ,点点P是直线是直线上任意一点上任意一点,点点 Q在双曲线在双曲线E上上,且满足且满足 (3)若点若点P的纵坐标为的纵坐标为 1,过点过点P作动直线作动直线l与双曲线右支交于不与双曲线右支交于不 同两点同两点M,N,在线段在线段MN上取异于点上取异于点M,N的点的点H,满足满足 证明点证明点H恒在一条定直线上恒在一条定直线上. 22 2 1 4 xy a 3 5 5 2 3 a x 22 0.PF QF | , | PMMH PNHN 222 1 2 1122122 3:,1 , 5 ( )()()

7、 3 44 ()()( ),25 ,5 .()() 55 H x yPlE M x yN xyxxyy 证明 设点且过点的直线 与双曲线 的右支交于 不同两点由知 12 1122 12 112212 12 222 12 | ,. | 5 (1) 3 55 (,1)(,1) 1 ,33 (,)(,)(1) (1 | ) , PMPN PM PN MHHN xx xyxy yy xx yyxx yyxx MH HN x yyy xx 设则 即整理 得 由 得 2 2222 12 222 2222 12 1122 2 5 (1) 3 (1) 444 5 ,5()(),4. 5551 4 ,4.431

8、20. 3 x yyy xx yxyxy yxHxy 将代入 得 将代入 得所以点恒在定直线上 1.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,已知圆心在第二象限、半径为已知圆心在第二象限、半径为 的圆的圆C与直线与直线y=x相切于坐标原点相切于坐标原点O.椭圆椭圆 与圆与圆C的一个的一个 交点到椭圆两焦点的距离之和为交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆求圆C的方程的方程; 22 22 22 : 18 | 8,2 2 ( ,0,0 )() 2 2,2, () (22).)8( xsyt st stst stCxy 解设圆的方程为 依题意 解得故所求圆 的方程为 考点训练考点训练 2

9、2 22 2 1 9 xy a 1.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,已知圆心在第二象限、半径为已知圆心在第二象限、半径为 的圆的圆C与直线与直线y=x相切于坐标原点相切于坐标原点O.椭圆椭圆 与圆与圆C的一个的一个 交点到椭圆两焦点的距离之和为交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (2)试探究圆试探究圆C上是否存在异于原点的点上是否存在异于原点的点Q,使使Q到椭圆右焦点到椭圆右焦点F 的距离等于线段的距离等于线段OF的长的长,若存在若存在,请求出点请求出点Q的坐标的坐标;若不存在若不存在,请请 说明理由说明理由. 22 2222 000000 0000 ( ) () ()()()(

10、22105,1, 259 4,0 ,) (),( ,416,228 4124 12 ,0,0,. 5555 ) xy aa F Q xyxyxy xyxyQ 由椭圆的定义可得故椭圆方程为 右焦点 设依题意 解得或舍去 存在 2 2 22 2 1 9 xy a 2.已知椭圆已知椭圆G的中心在坐标原点的中心在坐标原点,长轴在长轴在x轴上轴上,离心率为离心率为 ,两两 个焦点分别为个焦点分别为F1和和F2,椭圆椭圆G上一点到上一点到F1和和F2的距离之和为的距离之和为12.圆圆 Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点的圆心为点Ak. (1)求椭圆求椭圆G的方程的方程; 22 22

11、 222 22 : 1:10; 212 6 ,36279 3 ( )( 3 3 2 :1. 369 ) xy Gabc ab a a bac c c a xy G 解设椭圆 的方程为半焦距为 则解得 所求椭圆 的方程为 3 2 2.已知椭圆已知椭圆G的中心在坐标原点的中心在坐标原点,长轴在长轴在x轴上轴上,离心率为离心率为 ,两两 个焦点分别为个焦点分别为F1和和F2,椭圆椭圆G上一点到上一点到F1和和F2的距离之和为的距离之和为12.圆圆 Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点的圆心为点Ak. (2)求求AkF1F2的面积的面积. 1 2 12 2,2 11 26 326

12、 3. ( )() | 22 k k A F F A S k FF 点 的坐标为 3 2 3.已知椭圆已知椭圆C的焦点为的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点点P(-1, )在椭圆上在椭圆上. (1)求椭圆求椭圆C的方程的方程; 22 22 22 12 2 2 : 1,1 22 2,2,1,1 1 ( ) | . 2 xy C ab aPFPFacbac x Cy 解依题意 设椭圆 的方程为 所以所以 椭圆 的方程为 2 2 3.已知椭圆已知椭圆C的焦点为的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点点P(-1, )在椭圆上在椭圆上. (2)若抛物线若抛物线y2=2px(p0)与椭圆与椭圆

13、C相交于点相交于点M、N,当当OMN(O 是坐标原点是坐标原点)的面积取得最大值时的面积取得最大值时,求求p的值的值. 000000 0000 2 2 0 000 22 22 00 0000 0 0 2,0 1 2 2 ,1, 2 122, 22 ,. ( )()()() () () 2 M xyN xyxy OMNSxyx y x M xyy xx yyx y x yOMN 根据椭圆和抛物线的对称性 设、 的面积 在椭圆上 所以 等号当且仅当时成立 且此时面积最大 2 2 2 2 0 0 0 00 0 0 0 22 () ( 1 1 2 ,0 2 2 2 221 1,2,21,. 224 )

14、() x x y xy x y y Mypxpp 解得 即在抛物线上 所以解得 4.设椭圆设椭圆E的方程为的方程为 (ab0),点点O为坐标原点为坐标原点,点点A 的坐标为的坐标为(a,0),点点B的坐标为的坐标为(0,b),点点M在线段在线段AB上上,满足满足 |BM|=2|MA|,直线直线OM的斜率为的斜率为 (1)求求E的离心率的离心率e; 22 ( )()() 21 () 33 1:,0 ,0, ,2, . 2 5 5 ,2 55 , 10210 ,. 5 OM AaBb MABBMMAMab k ab cab b a b a e c 解 因为点 的坐标为点 的坐标为 点在线段上 满足

15、所以可得点 又从而 所以故 5 . 10 22 2 1 9 xy a 4.设椭圆设椭圆E的方程为的方程为 (ab0),点点O为坐标原点为坐标原点,点点A 的坐标为的坐标为(a,0),点点B的坐标为的坐标为(0,b),点点M在线段在线段AB上上,满足满足 |BM|=2|MA|,直线直线OM的斜率为的斜率为 (2)设点设点C的坐标为的坐标为(0,-b),N为线段为线段AC的中点的中点,证明证明:MNAB. 2222 22 ( )() 22 5 ()() 66 () ( 2:, ,., 151 5 666 150,.) NACN NMABa b AB NMabba abAB NMMNA ab AB

16、B 证明 由 是的中点知 点 的坐标为 可得又 所以 由得计算结果可知以故,所 5 . 10 22 2 1 9 xy a 5.已知抛物线已知抛物线C1:x2=4y的焦点的焦点F也是椭圆也是椭圆C2: (ab0) 的一个焦点的一个焦点,C1与与C2的公共弦长为的公共弦长为 ,过点过点F的直线的直线l与与C1相交于相交于 A,B两点两点,与与C2相交于相交于C,D两点两点,且且 与与 同向同向. (1)求求C2的方程的方程; 2 1 22 2 1212 2 11 12 22 22 22 2 : 140,1 , ,1; 2 6, :4 , 396 6,1, 24 9,8,1. 98 ( )() ()

17、 CxyF FCab CCCCy CCxy CC ab yx abC 解由抛物线方程知其焦点 的坐标为 因为 也是椭圆的一个焦点 所以 又与的公共弦长为与都关于 轴对称 且抛物线的方程为 由此易知与的公共点的坐标为 联立得故的方程为 22 22 1 yx ab 2 6 AC BD 5.已知抛物线已知抛物线C1:x2=4y的焦点的焦点F也是椭圆也是椭圆C2: (ab0) 的一个焦点的一个焦点,C1与与C2的公共弦长为的公共弦长为 ,过点过点F的直线的直线l与与C1相交于相交于 A,B两点两点,与与C2相交于相交于C,D两点两点,且且 与与 同向同向. (2)若若|AC|=|BD|,求直线求直线l

18、的斜率的斜率. 11223344 3142 22 341234341212 2 12 2 2, , ,44 ,1, ( )()( 1 440, 4 )()() ()() A x yB xyC xyD xy ACBDACBDACBDxxxx xxxxxxx xxxx x lklykx ykx xkxx x xy 如图 设 因为与同向 且所以从而 即于是 设直线 的斜率为则 的方程为 由得由 1212 , 4 ,4xxk x x 是这个方程的两根 22 22 1 yx ab 2 6 AC BD 22 22 34 3434 22 22 2 222 22 222 22 1 9816640, 1 89

19、1664 , 9898 164 64 ,161. (98)98 169(1)6 1619816 9, (98)4 6 . () () ()() 4 ykx kxkxx x xy k xxx x kk k k kk k kkk k l 由得而是这个方程的两根 将、代入 得 即,所以解得 即直线 的斜率为 6.设设F1,F2分别是椭圆分别是椭圆E: (0b0)的左右焦点的左右焦点,M是是C 上一点且上一点且MF2与与x轴垂直轴垂直,直线直线MF1与与C的另一个交点为的另一个交点为N. (1)若直线若直线MN的斜率为的斜率为 ,求求C的离心率的离心率; 1 22 12 2 2 2 2 2222 :

20、1:,0 ,0 , 0 33 ,23 4()4 1 23, ( )()() () ()2, 2 1 . 2 MNMF cabFcF c b MCMFxMc a b a MNkkbac cc cc bacbac aa C 解由题意得 因为是 上一点且与 轴垂直,所以的坐标为 因为直线的斜率为,所以即 将代入解得舍去 故 的离心率为 3 4 22 22 1 yx ab 7.设设F1,F2分别是椭圆分别是椭圆C: (ab0)的左右焦点的左右焦点,M是是C 上一点且上一点且MF2与与x轴垂直轴垂直,直线直线MF1与与C的另一个交点为的另一个交点为N. (2)若直线若直线MN在在y轴上的截距为轴上的截距

21、为2且且|MN|=5|F1N|,求求a,b. 22 22 1 yx ab 122 11 2 2 2 111 11 111 1 1 2 22 22 ( )/ () | | 2:, 0,2, 24,4 52 3 2() ,0,2 22 1 91 ,1 | ( 9 ) 4 ( OFFMFy MFyDMF b MFODba a MNFNDFFN cxcxc N x yy y y c C ab cab 由题意知 原点 为的中点轴 所以直线与 轴的交点是线段的中点 故即 由得 设由题意知则即 代入 的方程 得 将及代入得 2 2 2 4 )1 1 44 7,428,7,2 7. aa aa abaab 解

22、得故 8.已知椭圆已知椭圆C:x2+3y2=3,过点过点D(1,0)且不过点且不过点E(2,1)的直线与椭的直线与椭 圆圆C交于交于A,B两点两点,直线直线AE与直线与直线x=3交于点交于点M. (1)求椭圆求椭圆C的离心率的离心率; 2 2 : 11. 3 3,1,2. 3 ) 6 . ( x Cy abc c Ce a 解因为椭圆 的标准方程为 所以 所以椭圆 的离心率 8.已知椭圆已知椭圆C:x2+3y2=3,过点过点D(1,0)且不过点且不过点E(2,1)的直线与椭的直线与椭 圆圆C交于交于A,B两点两点,直线直线AE与直线与直线x=3交于点交于点M. (2)若若AB垂直于垂直于x轴轴

23、,求直线求直线BM的斜率的斜率; 11 1 1 11 ( )()()(21,0,1,1,. ) ()() () 112 . 3,3,2. 2 1. 3 1 BM ABDxAyBy AEyyx xMy yy BMk 因为过点且垂直于 轴 所以可设 直线的方程为 令得 所以直线的斜率 8.已知椭圆已知椭圆C:x2+3y2=3,过点过点D(1,0)且不过点且不过点E(2,1)的直线与椭的直线与椭 圆圆C交于交于A,B两点两点,直线直线AE与直线与直线x=3交于点交于点M. (3)试判断直线试判断直线BM与直线与直线DE的位置关系的位置关系,并说明理由并说明理由. 1 1122 1 11 1 3.:

24、,21. 1 0 1,/ /. 2 1 , ( ) ( ) () 11 . 1 ,12 . 2 3 3 () ()() ,3,. ( () 2 ) BM DE BMDE ABk DEkBMDE AByk xk y A x yB xyAEyx x yx xM x 直线与直线平行证明如下 当直线的斜率不存在时 由可知 又因为直线的斜率所以 当直线的斜率存在时 设其方程为 设则直线的方程为 令得点 22 2222 22 1212 22 11 2 11121 221 1121 21 33 ,1 36330. (1) 633 ,. 1 31 3 3 23(2) 3(3)(2) (1)3(1)(2) (3

25、 () )(2) BM xy kxk xk yk x kk xxx x kk yx y xyxyx BMk xxx k xxk xx xx 由得 所以 所以直线的斜率为 1121 21 112121 21 22 22 1212 2121 3(2) 11 (3)(2) (1)3(1)(2)(3)(2) (3)(2) 3312 (1)3 (1)2()3 1 31 3 0, (3)(2)(3)(2) 1./. , BM BMDE yxyx k xx k xxk xxxx xx kk k kx xxx kk xxxx kkBM DE 所以 所以所以 综上可知 直线.BMDE与直线平行 9.已知点已知点

26、F为抛物线为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点的焦点,点点A(2,m)在抛物线在抛物线E 上上,且且|AF|=3. (1)求抛物线求抛物线E的方程的方程; 2 1:2. 2 3,23, 2 2, 4 . ( ) p AF p AF p Eyx 解 由抛物线的定义得 因为即 解得 所以抛物线 的方程为 9.已知点已知点F为抛物线为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点的焦点,点点A(2,m)在抛物线在抛物线E 上上,且且|AF|=3. (2)已知点已知点G(-1,0),延长延长AF交抛物线交抛物线E于点于点B,证明证明:以点以点F为圆为圆 心且与直线心且与直线GA相切的圆相切的圆,必与直线必与直

27、线GB相切相切. 2 2 2 ( )() () ()()() () 2:2,:4,2 2, ,2,2 2 . 2,2 2 ,1,02 21 . 2 2111 ,2520,2,2 . 22 2 202 2202 2 1,0 , 1 2 () 4 ( 1)33 ( ) 1) 2 ( GAGB AmE yxm A A yx FAFyx yx xxxxB Gkk k 证明 因为点在抛物线上 所以 由抛物线的对称性 不妨设 由可得直线的方程为 由得解得或从而 又所以 所以0, . GAGB kAGFBGFFGA GB FGAGB 从而这表明点 到直线的距离相等 故以 为圆心且与直线相切的圆必与直线相切

28、10.已知点已知点A(0,-2),椭圆椭圆E: (ab0)的离心率为的离心率为 ,F 是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点,直线直线AF的斜率为的斜率为 ,O为坐标原点为坐标原点. (1)求求E的方程的方程; 222 2 2 22 ( 3 : 1,0 ,3.)( 3 3 ,2,1 ) . 2 1. 4 AF F ckc c c abac a x Ey 解设由条件知得 又所以 故 的方程为 3 2 22 22 1 yx ab 2 3 3 10.已知点已知点A(0,-2),椭圆椭圆E: (ab0)的离心率为的离心率为 ,F 是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点,直线直线AF的斜率为的斜率为 ,O为坐标原点为坐标原

29、点. (2)设过点设过点A的动直线的动直线l与与E相交于相交于P,Q两点两点,当当OPQ的面积最的面积最 大时大时,求求l的方程的方程. 1122 2 222 2 22 1,2 2 22 2 12 2 2,:2,. 21 1416120. ( )()() () () | 4 382 43 16 430,. 441 4143 1. 41 lxl ykxP x yQ xy x ykxykxkx kk kkx k kk PQkxx k 当轴时不合题意 故设 将代入得 当即时 从而 3 2 22 22 1 yx ab 2 3 3 2 2 2 2 2 2 , 1 14 43 . 241 44 43,0,

30、. 4 4 47 4,2,0. 2 77 ,22. 22 OPQ OPQ OPQd k k OPQSd PQ k t kttS t t t ttk t OPQlyxyx 又点 到直线的距离 所以的面积 设则 因为当且仅当即时等号成立 且满足 所以 当的面积最大时 的方程为或 11.如图如图,椭圆椭圆E: (ab0)经过点经过点A(0,-1),且离心率为且离心率为 (1)求椭圆求椭圆E的方程的方程; 222 2 2 2 1:,1, 2 ( 2 2,1. ) c ebabc a x aEy 解 由题意知及 解得所以椭圆 的方程为 2 . 2 22 22 1 yx ab 11.如图如图,椭圆椭圆E:

31、 (ab0)经过点经过点A(0,-1),且离心率为且离心率为 (2)经过点经过点(1,1),且斜率为且斜率为k的直线与椭圆的直线与椭圆E交于不同两点交于不同两点P,Q (均异于点均异于点A),证明证明:直线直线AP与与AQ的斜率之和为的斜率之和为2. 2 . 2 22 22 1 yx ab 112212 2 222 1212 22 1212 121 2:,0 ,112 ( )()() ()(), 1,1241220, 2 4 (1)2 (2) , 1212 0, 1122 ()()() APAQ P x yQ xyx x PQyk xk x ykxk kxk k k kk k xxx x kk

32、 APAQ yykxkkx kk xxx 证明 设 由题设知 直线的方程为 代入化简得 则 由已知从而直线与的斜率之和 2 12 12 4 (1) ()() 2 (2) () 22 22 2212. APAQ k x xx kkkkkk x x kk k k k k 化简得 12.已知椭圆已知椭圆C: (ab0)的离心率为的离心率为 ,点点(2, )在在C 上上. (1)求求C的方程的方程; 22 22 22 22 242 1:,1,8,4. 2 1. 84 ( ) ab ab aab xy C 解 由题意有解得 所以 的方程为 2 2 22 22 1 yx ab 2 12.已知椭圆已知椭圆C

33、: (ab0)的离心率为的离心率为 ,点点(2, )在在C 上上. (2)直线直线l不经过原点不经过原点O,且不平行于坐标轴且不平行于坐标轴,l与与C有两个交点有两个交点A,B, 线段线段AB中点为中点为M,证明证明:直线直线OM的斜率与直线的斜率与直线l的斜率乘积为定值的斜率乘积为定值. 1122 22 222 12 22 2:0,0 ,. 1214280 84 2 , 22 ( )()()( 121 11 , 22 )() ) . ( mm mmm m omom m l ykxb kbA x yB xyM xy xy ykxbkxkbxb xxkbb xyk xb kk y OMkkk x

34、k OMl 证明 设直线 将代入得 故 于是直线的斜率即 所以直线的斜率与直线 的斜率的乘积为定值 2 2 22 22 1 yx ab 2 13.在直角坐标系在直角坐标系xOy中中,直线直线l:y=t(t0)交交y轴于点轴于点M,交抛物线交抛物线 C:y2=2px(p0)于点于点P,M关于点关于点P的对称点为的对称点为N,连结连结ON并延长交并延长交C 于点于点H. (1)求求 222 2 2 2 2 12 : 10, , , , , 2:2 ( )()() 2 () 0,0, | ,2 .,:2 | 2 ) | 2 (. MtPt p NMPNtONyx t ypxpxt xxx OH Ht

35、NOH O t p t p t p t Np 解由已知得 又 为关于点 的对称点 故直线的方程为 代入整理得解得 因此所以 为的中点 即 | ; | OH ON 13.在直角坐标系在直角坐标系xOy中中,直线直线l:y=t(t0)交交y轴于点轴于点M,交抛物线交抛物线 C:y2=2px(p0)于点于点P,M关于点关于点P的对称点为的对称点为N,连结连结ON并延长交并延长交C 于点于点H. (2)除除H以外以外,直线直线MH与与C是否有其他公共点是否有其他公共点?说明理由说明理由. 222 12 2,.: 2 , 2 2:440, 20. , ,. ( ) () () MHCH pt MHytx

36、xyt tp ypxytyt yyt MHC HMHC 直线与 除 以外 没有其他公共点理由如下 直线的方程为即 代入整理得 解得或求也可 即直线与 只有一个公共点 所以除 以外 直线与 没有其他公共点 14.已知抛物线已知抛物线C:y2=2x的焦点为的焦点为F,平行于平行于x轴的两条直线轴的两条直线l1,l2 分别交分别交C于于A,B两点两点,交交C的准线于的准线于P,Q两点两点. (1)若若F在线段在线段AB上上,R是是PQ的中点的中点,证明证明:ARFQ; 1 22 22 2 12 12 1 () 2 111 ()()()()() 222222 () ( ) 1 1 :,0 ,:,:,0

37、, ,. ,20. 1:,10, , ,/ a Flya lybab Aa Bb Pa Qb R A Bllxab yab FABab ARk FQk kb bab ababab a k b AR aaaa 解 由题设设则 且 记过两点的直线为 则 的方程为 证明 由于 在线段上 故 记的斜率为的斜率为 则所以/.FQ 14.已知抛物线已知抛物线C:y2=2x的焦点为的焦点为F,平行于平行于x轴的两条直线轴的两条直线l1,l2 分别交分别交C于于A,B两点两点,交交C的准线于的准线于P,Q两点两点. (2)若若PQF的面积是的面积是ABF的面积的两倍的面积的两倍,求求AB中点的轨迹中点的轨迹

38、方程方程. 1 1 1 11 2 2,0 , 111| ,. 2222 11| 2, 222 0,1. ( )() | | ()() () ( 1,0 . ,. 2 ,1 . 1 ,11 . 2 ) () ABFPQF ABDE lxD x ab Sba FDba xS ab ba x xxD ABE x y y ABxkkx abx ab yyxx ABx 设 与 轴的交点为 则 由题设可得 所以舍去即 的坐标为 设满足条件的的中点为 当与 轴不垂直时 由可得 而所以 当与 轴垂 2 ,.1.EDyx直时与 重合所求轨迹方程为 15.已知已知A是椭圆是椭圆E: 的左顶点的左顶点,斜率为斜率为

39、k(k0)的直线的直线 交交E于于A,M两点两点,点点N在在E上上,MANA. (1)当当|AM|=|AN|时时,求求AMN的面积的面积; 111 22 2 1 1:,0. , 4 2,0 ,2. 217120, 43 1212 0,. 77 11212144 2. 27749 ( )() () AMN M x yy AM AAMyx xy xyyy yyy AMNS 解 设则由题意知 由已知及椭圆的对称性知 直线的倾斜角为 又因此直线的方程为 将代入得 解得或所以 因此的面积 22 1 43 xy 15.已知已知A是椭圆是椭圆E: 的左顶点的左顶点,斜率为斜率为k(k0)的直线的直线 交交E

40、于于A,M两点两点,点点N在在E上上,MANA. (2)当当2|AM|=|AN|时时,证明证明: k2. 22 1 43 xy 3 22 2222 22 11 22 2 2 1 2 2:201 43 341616120. 1612 ( )()() () () 2(34) 2, 3434 12 1 1|2. 34 xy AMyk xk kxk xk kk xx kk k AMkx k 证明 将直线的方程代入 得 由得 故 2 2 32 22 32 22 1121 ,2 ,. 43 2 2,46380. 3443 4638, 121233 210,0, 15260,2 () ( )( ) ( )()( )() ( 360, 0 )3( ) ( )( ,) kk ANyxAN kk k AMANkkk kk f ttttkf t fttttf t ff f t 由题设 直线的方程为故同理可得 由得即 设则 是的零点 所以在单调递增 又 因此在有唯一的零( 3),232.kk点 且零点 在内 所以