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1、第1课时 辗转相除法与更相减损术 第一章 1.3 算法案例 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理. 2.会求两个数的最大公约数. 3.体会案例中的数学素养 NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 辗转相除法 1.辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的 的古老 而有效的算法. 2.辗转相除法的算法步骤 第一步，给定 . 第二步，计算 . 第三步， . 第四步，若r0，则m，n的最大公约数等于 ； 否则，返回 . 最大公约数 两个正整数m，n(mn) m除以n所得的余数r mn，
2、nr m 第二步 思考 注意到8 2516 10512 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和 6 105与2 146的公约数有什么关系？ 答案 显然8 251与6 105的公约数也必是2 146的约数，同样6 105与2 146的公 约数也必是8 251的约数，所以8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的 最大公约数. 知识点二 更相减损术 更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 .若是，用 约简；若 不是，执行 . 第二步，以 的数减去 的数，接着把所得的差与 的数比较，并 以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 为止，则这
3、个数(等数)或 这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 偶数2 第二步 较大较小较小 相等 1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( ) 2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.( ) 3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 题型一 辗转相除法 例1 试用辗转相除法求228与1 995的最大公约数. 解 1 9958228171， 228117157， 171357， 所以228与1 995的最大公约
4、数为57. 反思感悟 辗转相除法的实质：对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小 的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法， 直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数. 跟踪训练1 用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是_. 解析 用辗转相除法可得 20485234， 8534217， 34172， 此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果. 3 题型二 更相减损术 解 方法一 6122306,3962198,3062153,198299， 1539954,995445,54459,45936， 36
5、927,27918,1899. 612,396的最大公约数为92236. 方法二 612396216,396216180,21618036,18036144,14436 108,1083672,723636.故36为612,396的最大公约数. 例2 试用更相减损术求612,396的最大公约数. 反思感悟 更相减损术的算法步骤 第一步，给定两个正整数m，n，不妨设mn. 第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的 两个数仍记为m，n. 第三步，dmn. 第四步，判断“dn”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者 记为n，返回第三步；否则，2kd(k是约简
6、整数2的个数)为所求的最大公约数. 跟踪训练2 用更相减损术求261和319的最大公约数. 解 31926158， 26158203， 20358145， 1455887， 875829， 582929， 319与261的最大公约数为29. 典例 用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公 约数. 核心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUANHEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 求三个正整数的最大公约数 解 (辗转相除法)： 先求120,168的最大公约数. 因为168120148,12048224,48242， 所以
7、120,168的最大公约数是24. 再求72,24的最大公约数. 因为72243，所以72,24的最大公约数为24， 即72,120,168的最大公约数为24. (更相减损术)： 先求120,168的最大公约数. 16812048,1204872,724824,482424， 所以120,168的最大公约数为24. 再求72,24的最大公约数. 722448,482424， 所以72,24的最大公约数为24， 即72,120,168的最大公约数为24. 素养评析 (1)求多个正整数的最大公约数，先求两个数的最大公约数，再 求这个最大公约数与另一个数的最大公约数，依次类推. (2)求最大公约数，
8、首先要设计运算方案，选择运算方法，求得运算结果， 所以说，这类题目是培养学生数学核心素养的重要内容. 3达标检测 PART THREE 1.1 337与382的最大公约数是 A.3 B.382 C.191 D.201 解析 1 3373823191,3821912，所以1 337与382的最大公约数是191. 12345 2.下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是 A.16和12的最大公约数是4 B.102和84的最大公约数是6 C.85和357的最大公约数是34 D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17. 12345 3.用更相减损术求36与134的最大
9、公约数，第一步应为_. 先除以2，得到18与67 解析 36与134都是偶数， 第一步应为先除以2，得到18与67. 4.已知a333，b24，则使得abqr(q，r均为自然数，且0rb)成立的q 和r的值分别为_. 13,21 解析 用333除以24，商即为q，余数就是r.333241321. 12345 5.用辗转相除法求85与51的最大公约数. 12345 解 8551134， 5134117， 341720， 所以8与51的最大公约数为17. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余 数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数 被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. 2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后 将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等， 此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.