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1、专题突破三 数列通项公式的求法 第二章 数 列 求数列的通项公式，是数列问题中的一类重要题型，在数列学习和考试中 占有很重要的位置，本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，； 解 这个数列前6项构成一个摆动数列，奇数项为3，偶数项为5. 所以它的一个通项公式为an4(1)n，nN*. 解 数列中的项以分数形式出现，分子为项数，分母比分子大1， 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除 运算得到，故解决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减 及递减
2、速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系. 需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜 想”，而且表达式不一定唯一. 跟踪训练1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，7，13，19，25，； 解 数列每一项的绝对值构成一个以1为首项，6为公差的等差数列，且奇数 项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为an(1)n1(6n5)，nN*. 二、利用递推公式求通项公式 命题角度1 累加、累乘 例2 (1)数列an满足a11，对任意的nN*都有an1a1ann，求通项公式； 解 an1ann1，an1ann1， 即a2a12，a3a23，anan1n
3、(n2). 等式两边同时相加得ana1234n(n2)， 即ana1234n1234n ，n2. 又a11也适合上式，an ，nN*. 代入上式得(n1)个等式，累乘， 反思感悟 形如an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成an1anf(n)； 第二步 当n2时，依次写出anan1，a2a1，并将它们累加起来； 第三步 得到ana1的值，解出an； 第四步 检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写 出分段形式.累乘法类似. 跟踪训练2 数列an中，a12，an1an2n，求an的通项公式 解 因为a12，an1an2n， 所以a2
4、a12，a3a222，a4a323，anan12n1，n2， 以上各式累加得，ana1222232n1， 所以an2n. 命题角度2 预设阶梯转化为等差(比)数列 例3 在数列an中，a12，an14an3n1，nN*. (1)证明：数列ann是等比数列； 证明 由an14an3n1， 得an1(n1)4(ann)，nN*. 因为a1110，所以ann0， 所以数列ann是首项为1，公比为4的等比数列. (2)求数列an的通项公式. 解 由(1)，可知ann4n1，nN*， 于是数列an的通项公式为an4n1n，nN*. 反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单， 一
5、般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学 们不必在此处挖掘过深. 跟踪训练3 (2018江苏泰州泰兴中学月考)在数列an中，a11,3anan1an an10(n2，nN*). 证明 由3anan1anan10(n2)， (2)求数列an的通项公式. 命题角度3 构造等差(比)数列 例4 已知数列an中，a11，an12an3，求an. 解 递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)， 即an12ant，则t3. 故递推公式为an132(an3). 所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以bn42n12n1，即an2n13(nN*). 反思感悟 形
6、如an1panq(其中p，q为常数，且pq(p1)0)可用待定系数 法求得通项公式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为an1tp(ant)； 第四步 写出数列an通项公式. 跟踪训练4 已知数列an满足an12an35n，a16，求数列an的通项公 式. 解 设an15n12(an5n)， 将an12an35n代入式， 得2an35n5n12an25n， 等式两边消去2an，得35n5n125n， 两边除以5n，得352，则1， 代入式得an15n12(an5n). 由a1516510及式得an5n0， 则数列an5n是以1为首项，2为公比的等比数列， 则an5n2n1，故an2n15n
7、(nN*). 三、利用前n项和Sn与an 的关系求通项公式 例5 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4，nN*，则an等于 A.2n1 B.2n C.2n1 D.2n2 解析 因为Sn2an4，所以n2时，Sn12an14， 两式相减可得SnSn12an2an1， 即an2an2an1，整理得an2an1， 所以数列an是首项为4，公比为2的等比数列， 则an42n12n1，故选A. 反思感悟 已知Snf(an)或Snf(n)的解题步骤： 第一步 利用Sn满足条件p，写出当n2时，Sn1的表达式； 第二步 利用anSnSn1(n2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式； 第三步 若
8、求出n2时的an的通项公式，则根据a1S1求出a1，并代入n2 时的an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形 式.如果求出的是an的递推公式，则问题化归为例3形式的问题. 跟踪训练5 在数列an中，a11，a12a23a3nan an1(nN*)， 求数列an的通项公式an. 得(n1)an13nan(n2)， 即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列，且a11，a21，于是2a22， 故当n2时，nan23n2. 12345 1.已知数列an满足a11，an an1(n2)，则an . 达标检测 DABIAOJIANCEDABIAOJIANCE 以上(n1)个式子相乘
9、得 12345 2.已知各项都为正数的数列an满足a11， (2an11)an2an10，则an 的通项公式是 . 得2an1(an1)an(an1). 12345 3.(2018日照高二检测)在数列an中，a11，a22，且an1an1( 1)n(n2)，则a10_. 10 解析 由题意，知a10a91(1)9，a9a81(1)8， a8a71(1)7，a3a21(1)2， 累加上述各式，可得a10a28. 又因为a22，所以a1010. 12345 4.已知数列an的前n项和Sn2n23n.求an的通项公式. 解 因为Sn2n23n， 所以当n2时， Sn12(n1)23(n1)2n27n5， 所以anSnSn14n5，n2， 又当n1时，a1S11，满足an4n5， 所以an4n5，nN*. 12345 5.已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.证明an是等比数列，并求其 通项公式. 12345 由Sn1an，Sn11an1， 得an1an1an， 即an1(1)an. 由a10，0得an0，