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1、3.1.3 两个向量的数量积 第三章 3.1 空间向量及其运算 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 两个向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作 ， 则 叫做向量a与b的夹角，记作a，b. 2.范围：a，b .特别地：当a，b 时，ab. 知识点二 两个向量的数量积 1.定义：已知
2、两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积(或内 积)，记作ab. 规定：零向量与任何向量的数量积都是0. AOB 0， 数乘向量与向量数量积的结合律(a)b_ 交换律ab_ 分配律(ab)c_ 2.数量积的运算律 (ab) ba acbc 注意：空间向量的数量积不满足结合律。 两个向量数 量积的性质 若a，b是非零向量，则ab_ 若a与b同向，则ab_；若反向，则ab_ 特别地，aa_或|a| 若为a，b的夹角，则cos _ |ab|a|b| 知识点三 两个向量的数量积的性质 ab0 |a|b|a|b| |a|2 2.对于非零向量b，由abbc，可得ac.( ) 3.对于
3、向量a，b，c，有(ab)ca(bc).( ) 4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.( ) 5.对任意向量a，b，满足|ab|a|b|.( ) 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 例1 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中 点，求： 题型一 数量积的计算 cos 60cos 600. 反思感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算
4、 律将多项式展开，再利用aa|a|2及数量积公式进行计算. 跟踪训练1 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面 AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算： abbcca0. 22220. 题型二 利用数量积证明垂直问题 例2 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60，AB2AD，PD底面ABCD. 求证：PABD. 证明 由底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，知DABD， 反思感悟 (1)由数量积的性质abab0可知，要证两直线垂直，可构造 与两直线分别平行的向量(a，b是非零向量)，只要证明这两个向量的数量积 为0即
5、可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直，离不开线面(面面)垂直的判定定理，需将 线面(面面)垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可. 跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点， G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD. 则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|. 又OGBDO，OG平面GBD，BD平面GBD， A1O平面GBD. 题型三 数量积求解空间角与距离 命题角度1 求解角度问题 例3 在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC 5，OAC45，OAB60，求向量 所成角的余弦值. 多维探究多维探究 跟踪训练
6、3 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC 所成的角. 解 不妨设正方体的棱长为1， 则|a|b|c|1，abbcca0， 异面直线A1B与AC所成的角为60. 命题角度2 求解距离或长度 例4 平行四边形ABCD中，AB2AC2且ACD90，将它沿对角线AC 折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离. 解 由已知得ACCD，ACAB，折叠后AB与CD所成角为60， 反思感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问 题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向 量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模
7、，利用 公式|a| 求解即可. 跟踪训练4 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13， BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长. 因为BAD90，BAA1DAA160， 核心素养之逻辑推理 HEXINSUYANGZHILUOJITUILIHEXINSUYANGZHILUOJITUILI 利用数量积探究垂直问题 典例 如图所示，在矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD(点P位 于平面ABCD的上方)，则边BC上是否存在点Q，使 ？ 即PQQD. 连接AQ，因为PA平面ABCD，所以PAQD. 又AB1， 3达标检测 PART THREE 1.对于向量a，
8、b，c和实数，下列命题中的真命题是 A.若ab0，则a0或b0 B.若a0，则0或a0 C.若a2b2，则ab或ab D.若abac，则bc 12345 解析 对于A，可举反例：当ab时，ab0；对于C， a2b2，只能推出|a|b|，而不能推出ab； 对于D，当a0时，不能推出bc. 12345 2.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c|等于 A.14 B. C.4 D.2 解析 |a2b3c|2|a|24|b|29|c|24ab6ac12bc14. 12345 不正确.故选B. 12345 12345 5.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为 _. 1222122(12cos 120021cos 120)2， 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.空间向量数量积性质的应用(a，b为非零向量) (1)abab0，此结论用于证明空间中的垂直关系. (2)|a|2a2，此结论用于求空间中线段的长度. 2.空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a0，由ab0可得ab或b0.