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1、3.1.4 空间向量的直角坐标运算 第三章 3.1 空间向量及其运算 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.了解空间向量坐标的定义. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角. NEIRONGSUOYIN 内容索引 自主学习 题型探究 达标检测 1自主学习 PART ONE 知识点一 空间向量的坐标表示 1.空间直角坐标系及空间向量的坐标 建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k， 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫 做 .单位向量i，j，k都叫做 . 2.空间向量的坐标 在空间直角坐
2、标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实 数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方 向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的 . 上式可简记作a . 单位正交基底坐标向量 坐标 (a1，a2，a3) 向量运算向量表示坐标表示 加法ab_ 减法ab_ 数乘a_ 数量积ab_ 知识点二 空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) (a1，a2，a3) a1b1a2b2a3b
3、3 名称 满足条件 向量表示形式坐标表示形式 abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R) abab0_ 模|a|_ 夹角 知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 a1b1a2b2a3b30 思考辨析 判断正误 SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWUSIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU 2题型探究 PART TWO 命题角度1 空间向量的坐标表示 例1 如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱DD， DC，BC的中点，以 为基底，求下列向量的坐标. 题型一 空间向量的坐标表示与运算 多维
4、探究多维探究 反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤 解 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2y轴， P1P4x轴，SO在z轴上. |P1P2|2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， P1(1,1,0)，P2(1,1,0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， P3(1，1,0)，P4(1，1,0). 命题角度2 空间向量的坐标运算 例2 已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于 A.(2，4,2) B.(2,4，2) C.(2,0，2) D.(2,1，3) 解析 依题意，得ba(1,2，1)a(1，2,1) 2(1，
5、2,1)(2，4,2). 反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标. 跟踪训练2 若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b) 2，则x_. 解析 由题意，得ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)， 故(ca)(2b)2(1x)2，解得x2. 2 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2). (2)若kab与ka2b互相垂直，求k
6、. 所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4). 又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0. 即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100. 引申探究 若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值. 解 由题意知kab(k1，k，2)， ka2b(k2，k,4)， (kab)(ka2b)， (kab)(ka2b)0， 反思感悟 (1)平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. 判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两 向量的数量积是否为0. (2)平行与垂直的应用 适当引入参数(比如
7、向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程. 选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 解 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 所以3(a1，a1,0)(a，a，0)， 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 题型三 空间向量的夹角与长度的计算 例4 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EFCF； 解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， (3)求CE的长. 反思感悟 通过分析几何体的结构特征，
8、建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐 标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐 标运算求解夹角和距离问题. 跟踪训练4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB 60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的 角为60. (1)求四棱锥P-ABCD的体积； 解 四边形ABCD是边长为2的菱形，且DAB60， OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222. (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值. 解 如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线
9、分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz， 异面直线所成的角为锐角或直角， 核心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUANHEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN 空间向量在平行与垂直中的应用 典例 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB ， AF1，M是线段EF的中点. 求证：(1)AM平面BDE； 证明 平面ABCD平面ACEF， 平面ABCD平面ACEFAC，ECAC， 所以EC平面ABCD，又BCDC， 如图，建立空间直角坐标系， 设ACBDN，连接NE， 又NE与AM不共线，NEAM. 又NE平面BDE，AM
10、 平面BDE， AM平面BDE. (2)AM平面BDF. 又DFBFF，且DF平面BDF，BF平面BDF， AM平面BDF. 素养评析 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问 题转化为代数问题.通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定. 3达标检测 PART THREE 1.已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于 A.(16,0,4) B.(8，16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 12345 解析 4a2b4(3，2,1)2(2,4,0) (12，8,4)(4,8,0)(8,0,4). 12345 2.已知向量a(0,2,1)，b(1,1，
11、2)，则a与b的夹角为 3.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc)的值为 A.4 B.15 C.3 D.7 12345 解析 bc(2,2,5)，a(bc)4653. 12345 解析 依题意得(kab)(2ab)0， 所以2k|a|2kab2ab|b|20， 而|a|22，|b|25，ab1， 12345 3.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几 何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应 向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值 范围. 课堂小结 KETANGXIAOJIEKETANGXIAOJIE 1.在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 (x2x1， y2y1，z2z1).一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 2.两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，