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1、第2课时 导数与函数的极值、最值,大一轮复习讲义,第四章 4.2 导数的应用,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 用导数求解函数极值问题,命题点1 根据函数图象判断极值 例1 设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是,多维探究,A.f(2)与f(2) B.f(1)与f(1) C.f(2)与f(2) D.f(1)与f(1),解析 由图象知，当x0； 当22时，f(x)0. 所以f(x)在区间(，2)上为增函数，在区间(2,2)上为减函数，
2、在区间(2，)上为增函数， 所以f(x)的极大值与极小值分别是f(2)与f(2).,命题点2 求函数的极值 例2 设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.,令g(x)2ax2axa1，x(1，). 当a0时，g(x)1， 此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点. 当a0时，a28a(1a)a(9a8).,函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点.,设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，,所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，
3、函数f(x)单调递增. 因此函数有两个极值点.,当a0，由g(1)10， 可得x10，f(x)0，函数f(x)单调递增； 当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减. 所以函数有一个极值点. 综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；,命题点3 根据极值求参数,例3 (1)函数f(x)exmx21在x0处的切线方程为_，若函数f(x) 有两个极值点，则实数m的取值范围为_.,xy20,解析 f(x)ex2mx，f(0)1，f(0)2， 所以函数f(x)在x0处的切线方程为xy20. 由题意可知，f(x)ex2mx0有两个根，,在(，0)，(0,1)上，g(x)0. 所以
4、当x0时，g(x)0且在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，,(2)(2018金华十校期末考试)已知函数f(x)x32x2ax1在(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是_.,1,7),解析 由题意可知f(x)3x24xa0有两个不等根，其中一个在(1,1)上，,函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 验证：求
5、解后验证根的合理性.,跟踪训练1 (1)(2013浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则 A.当k1时，f(x)在x1处取到极小值 B.当k1时，f(x)在x1处取到极大值 C.当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D.当k2时，f(x)在x1处取到极大值,解析 当k1时，f(x)exx1，f(1)0. x1不是f(x)的极值点. 当k2时，f(x)(x1)(xexex2) 则f(1)0，且x在1的左边附近f(x)0， f(x)在x1处取到极小值.故选C.,解得1a2，故选C.,题型二 用导数求函数的最值,师生共研,求函数f(x)在a，b上的最大值和最
6、小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值. (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,跟踪训练2 (1)函数f(x) x2ln x的最小值为_.,(2)设函数f(x)x3 2x5，若对任意的x1,2，都有f(x)a，则实数a的取值范围是_.,解析 由题意知，f(x)3x2x2，,题型三 函数极值和最值的综合问题,例5 已知函数f(x) (a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0. (1)求f(x)的单调区间；,师生共研,令g(x)ax2(2ab)xbc， 因为ex0， 所以yf(x
7、)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同. 又因为a0， 所以当30，即f(x)0， 当x0时，g(x)0，即f(x)0， 所以f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)，(0，).,(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值.,解 由(1)知，x3是f(x)的极小值点，,解得a1，b5，c5，,因为f(x)的单调递增区间是(3,0)， 单调递减区间是(，3)，(0，)， 所以f(0)5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，,所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5
8、e5.,(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论. (3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.,跟踪训练3 已知函数f(x)ax32x24x5，当x 时，函数f(x)有极值，则函数f(x)在3,1上的最大值为_.,13,解析 f(x)3ax24x4，,f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.,当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如表所示：,函数f(x)在3,1上
9、的最大值为13.,例 (15分)已知函数f(x)ln xax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值.,答题模板,DATIMUBAN,利用导数求函数的最值,综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；,所以f(x)的最小值是f(1)a. 11分,又f(2)f(1)ln 2a，,当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a. 14分 综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a； 当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 15分,答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一
10、步：(求导数)求函数f(x)的导数f(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值 与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.,课时作业,2,PART TWO,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点,解析 设f(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标
11、从左至右依次为x1，x2，x3，x4. 当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点， 同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选C.,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知曲线y3xx3的极大值点的坐标为(b，c)，则bc等于 A.2 B.1 C.1 D.2,解析 由题意可知，y33x2. 因为点(b，c)为函数y3xx3的极大值点，所以c3bb3，且033b2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.函数f(x) x34x4的极大
12、值为 A. B.6 C. D.7,解析 f(x)x24(x2)(x2)， f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.若函数f(x)x32cx2x有极值点，则实数c的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 若函数f(x)x32cx2x有极值点， 则f(x)3x24cx10有两个不等实根，,5.(2018浙江六校协作体期末联考)已知函数f(x) (a0，b0)在x1处取得极小值，则 的最小值为 A.4 B.5 C.9 D.10,1,2,3,4,5,
13、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,得f(x)ax2bx1， 则f(1)ab10，ab1，,6.已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于 A.11或18 B.11 C.18 D.17或18,解析 函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10， f(1)10，且f(1)0，又f(x)3x22axb，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)x34x211x16，f(2)18.,7.(2018衢州质检)已知函数f(x)x32ax21在x1处的切线的斜率为1，则实数a_，此时函数yf(x)在0,1上的
14、最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得f(x)3x24ax，则有f(1)3124a11，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_.,解析 yexax，yexa. 函数yexax有大于零的极值点， 方程exa0有大于零的解， 当x0时，ex1，aex1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(，1),9.函数f(x)x33a2xa(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范
15、围是_.,解析 f(x)3x23a23(xa)(xa)， 由f(x)0得xa， 当aa或x0，函数f(x)单调递增， f(x)的极大值为f(a)，极小值为f(a). f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1,1，则f(m)的最小值为_.,4,解析 f(x)3x22ax， 由f(x)在x2处取得极值知f(2)0， 即342a20，故a3. 由此可得f(x)x33x24. f(x)3x26x， 由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递
16、增， 当m1,1时，f(m)minf(0)4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.设函数f(x)aln xbx2(x0)，若函数f(x)在x1处与直线y 相切. (1)求实数a，b的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令f(x)0，得1xe，,在(1，e上单调递减，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x) (1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
17、解 当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,故当x0时，函数f(x)取得极小值f(0)0，,(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以f(x)在1,1)上的最大值为2. 当1xe时，f(x)aln x， 当a0时，f(x)0； 当a0时，f(x)在1，e上单调递增， 则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a. 故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a； 当a2时，
18、f(x)在1，e上的最大值为2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019杭州质检)已知a0，且a1，则函数f(x)(xa)2ln x A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，又无极小值,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,根据函数的单调性与极值的关系， 当01时，xa为函数f(x)的极小值点，xx0为f(x)的极大值点， 故函数f(x)(xa)2ln x既有
19、极大值，也有极小值，故选C.,14.(2018台州模拟)已知函数f(x)aex2x2a，且a1,2，设函数f(x)在区间0，ln 2上的最小值为m，则m的取值范围是_.,2，2ln 2,解析 g(a)f(x)a(ex2)2x是关于a的一次函数， 当x0，ln 2)时，ex20，即yg(a)是减函数，a1,2， g(a)min2(ex2)2x(易知xln 2也成立)， 设M(x)2(ex2)2x， 则M(x)2ex2，x0，ln 2，M(x)0， 则M(x)在0，ln 2上为增函数， M(x)minM(0)2， M(x)maxM(ln 2)2ln 2，m的取值范围是2，2ln 2.,1,2,3,
20、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)xln xmex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的 取值范围是_.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 f(x)xln xmex(x0)，f(x)ln x1mex(x0)，,h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0， 当x(0,1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0,1上单调递增， 当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减
21、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,而当x0时，g(x)，当x时，g(x)0； 若ym和g(x)的图象在(0，)上有两个交点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018温州第一次适应性测试)设a为实数，若函数f(x)(x1)exax2(xR). (1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；,解 当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)xex， x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求函数f(x)的极值；
22、,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)x(ex2a). 当a0时，ex2a0. x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增， x0时，函数f(x)取极小值f(0)1. 当a0时，令f(x)x(ex2a)0， 解出x10或x2ln(2a).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x(，0)和x(ln(2a)，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(0，ln(2a)时，f(x)0，函数f(x)单调递减； 函数f(x)的极大值是f(0)1， 极小值f(ln(2a)2a(ln(2a)1)a(ln(2
23、a)2.,x(，ln(2a)和x(0，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增； x(ln(2a)，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递减； 函数f(x)的极大值是f(ln(2a) 2a(ln(2a)1)a(ln(2a)2，极小值f(0)1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，当a0时，f(x)有极小值1，无极大值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(3)当a(0,1时，若函数f(x)在0，a上的最大值为M(a)，求M(a).,解 令f(x)x(ex2a)0， 解得x10或x2ln(2a).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)0，函数在0，a上单调递增， M(a)f(a)(a1)eaa3.,从而ln(2a)0， 所以M(a)maxf(a)，f(0)(a1)eaa3，1. 令h(a)(a1)eaa31，h(a)a(ea3a)， 令k(a)ea3a，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当a(x0 ， 1)时，k(a)0，则h(a)0，,当a1时，等号成立，即f(a)f(0). 综上，M(a)f(a)(a1)eaa3.,