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1、1.1.2 基本不等式预习案一、预习目标及范围1了解两个正数的算术平均数与几何平均数2理解定理1和定理2(基本不等式)3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题二、预习要点教材整理1两个定理及算数平均与几何平均1两个定理定理内容等号成立的条件定理1来源:学+科+网Z+X+X+Ka2b2 (a，bR)当且仅当 时，等号成立定理2 (a，b0)当且仅当 时，等号成立2.算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们称 为a，b的算术平均， 为a，b的几何平均教材整理2利用基本不等式求最值来源:Zxxk.Com已知x，y为正数，xyS，xyP，则(1)如果P是 ，那么当且仅当 时，S取得最小值
2、；(2)如果S是 ，那么当且仅当xy时，P取得最大值 .三、预习检测1下列不等式中，正确的个数是()若a，bR，则；若xR，则x222；若xR，则x212；来源:学|科|网若a，b为正实数，则.A0 B1 C2 D.32若x0，则f(x)23x2的最大值是_，取得最值时x的值是_.3已知a，b是正数，求证：(1)；(2).探究案一、合作探究题型一、利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，c都是正数，求证：abc.【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系再练一题1已知x，y，z均为正数，求证：.题型二、利用基本不等式求最值例2设x，y，z均是正数，x2y3z0，则的最小值为_【精
3、彩点拨】由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件再练一题2已知x0，y0，且1，试求xy的最小值.题型三、基本不等式的实际应用例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当
4、年生产的化妆品正好能销完(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【精彩点拨】(1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入生产成本促销费；生产成本固定费用生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用基本不等式求最值再练一题3如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反
5、比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?题型四、基本不等式的理解与判定例4命题：任意x0，lg x2；任意xR，ax2；任意x，tan x2；任意xR，sin x2.其中真命题有()A B C D.【精彩点拨】按基本不等式成立的条件进行判定再练一题4若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2二、随堂检测来源:Z*xx*k.Com1下列结论中不正确的是()Aa0时，a2 B.2Ca2b22ab D.a2b2【解析】选项A，C显然正确；选项D中，2(a2b2)(ab)2a2b2
6、2ab0，a2b2成立；而选项B中，2不成立，因为若ab0，则不满足不等式成立的条件【答案】B2下列各式中，最小值等于2的是()A. B.Ctan D.2x2x【解析】2x0,2x0，2x2x22，当且仅当2x2x，即x0时，等号成立故选D.【答案】D3已知1(x0，y0)，则xy的最小值是()A15 B6 C60 D.1【解析】2(当且仅当x10，y6时，取等号)，21，xy60，故xy的最小值为60.【答案】C参考答案预习检测：1.【解析】显然不正确；正确；对于，虽然x22无解，但x222成立，故正确；不正确，如a1，b4.【答案】C2.【解析】f(x)2323410，当且仅当x2，即x时取等号【答案】103.【证明】(1)左边右边，原不等式成立(2)右边左边，原不等式成立随堂检测：1.【解析】选项A，C显然正确；选项D中，2(a2b2)(ab)2a2b22ab0，a2b2成立；而选项B中，2不成立，因为若ab0，则不满足不等式成立的条件【答案】B2.【解析】2x0,2x0，2x2x22，当且仅当2x2x，即x0时，等号成立故选D.【答案】D3.【解析】2(当且仅当x10，y6时，取等号)，21，xy60，故xy的最小值为60.【答案】C