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1、第二章测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.用反证法证明“若x+y0,则x0或y0”时,应假设()A.x0或y0B.x0且y0C.xy0D.x+y0且y0.答案:B2.某西方国家流传这样的一个政治笑话:“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析:不符合“三段论”的形式,正确的“三段论”推理形式应为“鹅吃白菜,参议员先生是鹅,所以参议员先生也吃白菜”.答案:C3.观察下列各等式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,则5
2、2 017的末四位数字是()A.3125B.5625C.8125D.0625解析:55=3 125的末四位数字为3125;56=15 625的末四位数字为5625;57=78 125的末四位数字为8125;58=390 625的末四位数字为0625;59=1 953 125的末四位数字为3125根据末四位数字的变化,3125,5625,8125,0625,即末四位的数字是以4为周期变化的,故2 017除以4余1,即末四位数为3125.则52 017的末四位数字为3125.答案:A4.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字09和字母AF共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关
3、系如下表:16进制0123456789ABCDEF10进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示E+D=1B,则AB等于()A.6EB.72C.5FD.B0解析:AB=110=616+14=6E.答案:A5.在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,则有EFBC.这个命题的大前提为()A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线D.EFCB解析:本题的推理过程形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理.答案:A6.某人在x天内观察天气,共测得下列数据:上午或下午共下雨7次;有5个下午晴;有6个上午晴;当下午下雨时上午
4、晴,则观察的天数x为()A.11B.9C.7D.不能确定解析:由题意可知,此人每天测两次,共测了7+5+6=18(次),所以x=9(天).答案:B7.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f(x0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确解析:大前提是“对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f(x0)=0,且满足当xx0时和当x
5、x0时的导函数值异号时,那么x=x0是函数f(x)的极值点,所以大前提错误.答案:A8.已知实数a,b,c,d满足ab,cd,且有(a-c)(a-d)=5,(b-c)(b-d)=5成立,则()A.abcdB.cdabC.cadbD.acdb解析:构造二次函数f(x)=(x-c)(x-d),因此c,d是函数f(x)=(x-c)(x-d)的零点,且cd;又(a-c)(a-d)=5,(b-c)(b-d)=5,因此a,b是方程f(x)=5的根,且ab,结合如图所示的函数图象可推出acdb.答案:D9.无限循环小数为有理数,如:0.,0.,0.,则可归纳出0.=()A.B.C.D.解析:由题意,得0.=
6、0.45+0.004 5+=.答案:D10.导学号40294018庄子天下篇中记述了一个著名命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”反映这个命题本质的式子是()A.1+=2-B.1+2C.+=1D.+1解析:据已知可得,每次截取的长度构成一个以为首项,为公比的等比数列,+=1-1.故反映这个命题本质的式子是+1,这与已知a+b+c=1矛盾.假设a,b,c都小于,则a+b+c1,这与已知a+b+c=1矛盾,故a,b,c中至少有一个数不小于.答案:14.在ABC中,若D为BC的中点,则有),将此结论类比到四面体中,在四面体A-BCD中,若G为BCD的重心,则可得一个类比结论:.解析:由“ABC”类
7、比“四面体A-BCD”,“中点”类比“重心”,由此可得在四面体A-BCD中,G为BCD的重心,则有).答案:)15.如下数表为一组等式:某学生根据上表猜测S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c),老师回答正确,则a-b+c=.S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,解析:由题意,得所以故a-b+c=5.答案:516.将正整数1,2,3,按照如图的规律排列,则100应在第列.解析:由排列的规律可得,第n列结束的时候排了1+2+3+n-1=n(n+1)个数.每一列的数字都是按照从大到小的顺序排列的,且每一列的数
8、字个数等于列数,而第13列的第一个数字是13(13+1)=91,第14列的第一个数字是14(14+1)=105,故100应在第14列.答案:14三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列an中,a1=1,an+1=(nN*).(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列an的通项公式;(2)运用(1)中的猜想,写出用三段论证明数列是等差数列时的大前提、小前提和结论.解:(1)数列an中,a1=1,an+1=,a2=,a3=,a4=.猜想an=.(2)在数列an中,若an+1-an=d,d是常数,则an是等差数列,大前提,为常数,小前提所以数列是等差数列.结论18.(本小
9、题满分12分)已知a,b,cR.(1)若|a|1且|b|a+b;(2)由(1),运用类比推理,若|a|1且|b|1且|c|a+b+c;(3)由(1)(2),运用归纳推理,猜想出一个更一般性的结论(不要求证明).解:(1)由ab+1-a-b=(a-1)(b-1)0,得ab+1a+b;(2)由(1)得(ab)c+1ab+c,所以abc+2=(ab)c+1+1(ab+c)+1=(ab+1)+ca+b+c;(3)若|ai|a1+a2+a3+an.19.(本小题满分12分)设f()=sinn+cosn,nn|n=2k,kN*(1)分别求f()在n=2,4,6时的值域;(2)根据(1)中的结论,对n=2k
10、(kN*)时,f()的取值范围作出一个猜想(只需写出猜想,不必证明).解:(1)当n=2时,f()=sin2+cos2=1,所以f()的值域为1;当n=4时,f()=sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2=1-sin22,此时有f()1,所以f()的值域为;当n=6时,f()=sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4+cos4-sin2cos2)=1-3sin2cos2=1-sin22,此时有f()1,所以f()的值域为.(2)由以上结论猜想,当n=2k(kN*)时,f()的值域是.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+(x0),若P(x1,y
11、1),Q(x2,y2)(0x10,使得f(x0)=,证明:x1x00).又=x2+x1-,所以2x0-=x2+x1-.若x0x2,则2x0x1+x2,-,所以2x0-x2+x1-,与矛盾;若x0x1,同理可得2x0-x2+x1-,与矛盾.综上,有x1x0,(1-b)c,(1-c)a.将以上三式相乘,得(1-a)b(1-b)c(1-c)a,即(1-a)a(1-b)b(1-c)c.又因为(1-a)a,同理,(1-b)b,(1-c)c,所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c,与(1-a)a(1-b)b(1-c)c矛盾.因此假设不成立,所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三个数不可能同时大于
12、.22.导学号40294019(本小题满分12分)如图,设A是由nn个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij1,-1.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于AS(n,n),记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令l(A)=ri(A)+cj(A).a11a12a1na21a22a2nan1an2ann(1)对如下数表AS(4,4),求l(A)的值;11-1-11-1111-1-11-1-111(2)证明存在AS(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,n;(3)给定n为奇数,对于所有的
13、AS(n,n),证明l(A)0.(1)解:r1(A)=r3(A)=r4(A)=1,r2(A)=-1;c1(A)=c2(A)=c4(A)=-1,c3(A)=1,所以l(A)=ri(A)+cj(A)=0.(2) 证明:数表A0中aij=1(i,j=1,2,3,n),显然l(A0)=2n.将数表A0中的a11由1变为-1,得到数表A1,显然l(A1)=2n-4.将数表A1中的a22由1变为-1,得到数表A2,显然l(A2)=2n-8.依此类推,将数表Ak-1中的akk由1变为-1,得到数表Ak.即数表Ak满足:a11=a22=akk=-1(1kn),其余aij=1.所以r1(A)=r2(A)=rk(
14、A)=-1,c1(A)=c2(A)=ck(A)=-1.所以l(Ak)=2(-1)k+(n-k)=2n-4k,其中k=0,1,2,n;【注:数表Ak不唯一】(3) 证明: (反证法)假设存在AS(n,n),其中n为奇数,使得l(A)=0.因为ri(A)1,-1,cj(A)1,-1(1in,1jn),所以r1(A),r2(A),rn(A),c1(A),c2(A),cn(A)这2n个数中有n个1,n个-1.令M=r1(A)r2(A)rn(A)c1(A)c2(A)cn(A).一方面,由于这2n个数中有n个1,n个-1,从而M=(-1)n=-1.另一方面,r1(A)r2(A)rn(A)表示数表中所有元素之积(记这n2个实数之积为m);c1(A)c2(A)cn(A)也表示m,从而M=m2=1.相互矛盾,从而不存在AS(n,n),使得l(A)=0.即当n为奇数时,必有l(A)0.