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1、专题三导数及其应用【真题典例】3.1导数的概念及运算挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点导数的概念及其几何意义1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.2018课标全国文,6导数的几何意义奇函数导数的运算会用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数,并能求简单的复合函数的导数.2017浙江,20导数的四则运算函数的取值范围2014大纲全国,7导数的四则运算导数的几何意义分析解读1.导数是高考中的重要内容,导数的运算是高考命题的热点,是每年的必考内容.2.本节主要考查导数的运算,导数的几何意义,考查函数与其导函数图象之间的关系.3.预计202
2、0年高考中,导数运算的考查必不可少,同时要注意对切线的考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一导数的概念及其几何意义1.(2018浙江镇海中学12月测试,2)已知直线y=x+1与曲线y=ln (x+a)相切,则a的值为() A.2B.1C.-1D.-2答案A2.(2017浙江衢州质量检测(1月),14)已知函数f(x)=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1,则实数a=,此时函数y=f(x)在0,1上的最小值为.答案-;2327考点二导数的运算1.(2018浙江诸暨高三上学期期末,9)已知f(x)的导函数为f (x),若满足xf (x)-f(x)=x2+x,且f(1)1,则f(x
3、)的解析式可能是()A.x2-xln x+xB.x2-xln x-xC.x2+xln x+xD.x2+2xln x+x答案C2.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),13)已知函数f(x)=sin x-f 2cos x,若f 4=0,则f 2=.答案-1 炼技法【方法集训】方法1导数运算的解题方法1.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,4)设f1(x)=sin x+cos x,对任意的nN*,定义fn+1(x)=fn(x),则f2 017(x)等于( ) A.sin x-cos xB.sin x+cos x C.-sin x-cos xD.-sin x+cos x答案B2.(2018浙江台
4、州第一次调考(4月),10)设f (x)为函数f(x)的导函数(xR),且f(x)0(e为自然对数的底数),若x1x2,则()A.f(x2)ex1-x2f(x1)B.f(x1)ex2-x12f 2(x1)D.f 2(x1)ex1-x22f 2(x2)答案D方法2曲线的切线方程的求法1.(2017浙江测试卷,4)已知直线y=ax是曲线y=ln x的切线,则实数a=()A.B.12eC.D.1e2答案C2.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,20)已知函数f(x)=(x-1)ln x.(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间12,2上的取值范围.解析(1)(x-1)=1
5、2x,(ln x)=,所以f (x)=12xln x+(x-1)=lnx+21-1x2x,则f (1)=0.又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=0.(2)由(1)知f (x)=lnx+21-1x2x.因为y=ln x与y=1-1x都是区间(0,+)上的增函数,所以g(x)=ln x+21-1x是(0,+)上的增函数.又g(1)=0,所以当x1时,g(x)0,所以f (x)0,此时f(x)递增;当0x1时,g(x)0,所以f (x)12.(2)由f (x)=(1-x)(2x-1-2)e-x2x-1=0,解得x=1或x=.因为x1212,111,525252,+f (x)
6、-0+0-f(x)12e-12012e-52又f(x)= (2x-1-1)2e-x0,所以f(x)在区间12,+上的取值范围是0,12e-12.解后反思1.在导数大题中,求函数的导数至关重要,因此,必须熟练掌握求导公式和求导法则.2.利用导数求函数的值域的一般步骤:(1)求函数f(x)的导函数f (x);(2)解方程f (x)=0;(3)用f (x)=0的根把函数的定义域分成若干个区间;(4)判断每个区间上f (x)的符号,得函数的单调性;(5)求函数在各个区间上的值域,再求并集.3.本题最易忽略f(x)0这个条件,从而得出:f(x)在12,+上的值域为-,12e-12的错误结论.因此,在求函
7、数f(x)在区间(a,+)或(-,a)上的值域时,一定要观察f(x)图象的趋势,或先判断f(x)何时为正,何时为负(通常是求出函数f(x)的零点).B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018课标全国文,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D2.(2018课标全国理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-33.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln
8、x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案14.(2016课标全国,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0知, f (x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).评析本题考查导数的几何意义及利用导数讨论函数单调性等知识,方法常规,属中档题.4.(2017山东理,20,13分)已知函数f(x)=x2
9、+2cos x,g(x)=ex(cos x-sin x+2x-2),其中e=2.718 28是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(, f()处的切线方程;(2)令h(x)=g(x)-af(x)(aR),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义和极值.(1)由题意知, f()=2-2,又f (x)=2x-2sin x,所以f ()=2,因此曲线y=f(x)在点(, f()处的切线方程为y-(2-2)=2(x-),即y=2x-2-2.(2)由题意得h(x)=ex(cos x-sin x+2x-2)-a(x2+2cos x),因为h(x)=ex(co
10、s x-sin x+2x-2)+ex(-sin x-cos x+2)-a(2x-2sin x)=2ex(x-sin x)-2a(x-sin x)=2(ex-a)(x-sin x),令m(x)=x-sin x,则m(x)=1-cos x0,所以m(x)在R上单调递增.因为m(0)=0,所以当x0时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;(ii)当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得x1=ln a,x2=0.当0a1时,ln a0,当x(-,ln
11、 a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值,极大值为h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;当a1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调
12、递增.所以当x=0时,h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时,h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当0a1时,函数h(x)在(-,0)和(ln a,+)上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(ln a)=-a(ln a)2-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.5
13、.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)= x3-ax2,aR.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析本题考查导数的几何意义;用导数研究函数的单调性;用导数求函数的极值、最值.(1)由题意f (x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f (x)=x2-2x,所以f (3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x
14、-sin x,所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0时,h(x)0.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,a)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(a,0)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当
15、a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0, g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=- a3-sin a.综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值
16、是g(a)=- a3-sin a.6.(2015安徽,18,12分)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列xn的通项公式;(2)记Tn=x12x32x2n-12,证明:Tn14n.解析(1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn=x12x32x2n-12=1223422n-12n2.当n=1时,T1=.当n2时,因为x
17、2n-12=2n-12n2=(2n-1)2(2n)2(2n-1)2-1(2n)2=2n-22n=n-1n.所以Tn122n-1n=14n.综上可得对任意的nN*,均有Tn14n.C组教师专用题组考点导数的概念及其几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是() A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3答案A2.(2014课标,8,5分)设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=() A.0B.1C.2D.3答案D3.(2
18、018课标全国理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x4.(2017课标全国文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案86.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)7.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=08.(2014江苏,11,5分)在
19、平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-39.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江镇海中学12月测试,1)下列求导结果正确的是() A.(1-x2)=1-2xB.(cos 30)=-sin 30C.ln(2x)=12xD.(x3)=32x答案D2.(2018浙江嘉兴第一学期期末,7)函数y=x3-x的图象与直线y=ax+2相切,则实数
20、a=() A.-1B.1C.2D.4答案C二、解答题(共60分)3.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,22)已知函数f(x)=2x3-3(m-1)x2-6mx+10m(mR).(1)若m=0,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)若m=1,x-1,3,求f(x)的值域;(3)若m0,且当x-1,3时, f(x)0,求m的取值范围.解析(1)m=0,则f(x)=2x3+3x2, f(1)=5.f (x)=6x2+6x, f (1)=12.所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是y-5=12(x-1),即12x-y-7=0.(2)m=1,则f(x)=2x3-6x+10, f (x)=6x
21、2-6.令f (x)=0,得x1=-1,x2=1.x-1(-1,1)1(1,3)3f (x)0-0+f(x)14单调递减6单调递增46所以f(x)的值域是6,46.(3)f(x)=2x3-3(m-1)x2-6mx+10m,则f (x)=6x2-6(m-1)x-6m.令f (x)=0,得x1=-1,x2=m.由题知m0,所以f(x)在(-1,m)上单调递减,在(m,+)上单调递增.因为当x-1,3时, f(x)0,所以若0m3,则f(x)min=f(m)0.由f(m)=-m3-3m2+10m0,得m(m+5)(m-2)0,所以0m2.若m3,则f(x)min=f(3)0.而f(3)=81-35m
22、0,与m3矛盾.故m的取值范围是(0,2.4.(2019届浙江名校协作体高三联考,22)已知函数f(x)=e-x+ax(aR).(1)当a=0时,直线y=kx是曲线y=f(x)的切线,求实数k的值;(2)若x1,x2是函数f(x)的两个极值点,且x10,当x12,+时,g(x)0,且当x+时,g(x)0,所以当f (x)=0有两个不等的根时,0a2ee,此时0x10恒成立,所以f(x1)在0,12上单调递增,所以f(x1)1,2e.5.(2018浙江温州二模(3月),20)已知函数f(x)=4x-3e2x,g(x)=- x2+ax.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与曲线y=g(x)相切
23、,求a的值;(2)若a=1,求函数y=f(x)+g(x)的最大值.解析(1)f (x)=2xe2x-(4x-3)2e2x(e2x)2=2-8x+6xe2xx.(4分)f (1)=0,又f(1)=1e2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=1e2.又曲线y=f(x)在x=1处的切线与曲线y=g(x)相切,g(x)=-x+a=0,解得x=a.g(a)=-a22+a2=a22,a22=1e2,a=2e.(6分)(2)y=f(x)+g(x)=4x-3e2x- x2+x,y=2-8x+6xxe2x-x+1=2(1-x)(1+4x)xe2x+(1+x)(1-x)=(1-x)1+x+2(1+4x)xe
24、2x,x(0,+).当x(0,1)时,y0;当x(1,+)时,y0, f (x)=2x-a+,令f (x)=0,(7分)故2x2-ax+1=0的两个不相等的正实数根为x1,x2.则有=a2-80,x1+x2=a20,x1x2=120,解得a22.(9分)故f(x1+x2)=(x1+x2)2-a(x1+x2)+ln(x1+x2)=-a24+ln.(11分)设g(a)=-a24+ln (a22),则g(a)=- +=2-a22a0.(13分)所以g(a)在(22,+)上单调递减,所以g(a)g(22)=-2+ln 2=-2+ln 2.因此f(x1+x2)的取值范围是-,-2+12ln2.(15分)