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1、刷题增分练 33双曲线的定义、标准方程及性质刷题增分练 小题基础练提分快一、选择题12019绵阳诊断已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且|O1O2|8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线的一支 D抛物线答案：C解析：设动圆M的半径为R，由题意得|MO1|R2，|MO2|R4，所以|MO2|MO1|6(常数)，且68|O1O2|，所以动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支22019昆明模拟“mn0”是“方程mx2ny21表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：C解析：先证充分性，由mn
2、0，知m，n异号，可得，异号，所以方程mx2ny21可化为1，其表示双曲线；再证必要性，若方程mx2ny21表示双曲线，则m0，n0，方程mx2ny21可化为1，由双曲线方程的形式可知，异号，所以mn0.综上，“mn0)的一条渐近线方程为2x3y0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|2，则|PF2|()A4 B6C8 D10答案：C解析：由题意得，解得a3.因为|PF1|2，所以点P在双曲线的左支上所以|PF2|PF1|2a，解得|PF2|8.故选C.5已知双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为()A.1 Bx21C.1 Dx21答
3、案：A解析：因为双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，所以a2，由离心率为，可得，c2，所以b4，则双曲线的标准方程为1.62018全国卷已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2答案：D解析：由题意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因为a0，b0，所以ab，渐近线方程为xy0，点(4,0)到渐近线的距离为2，故选D.72019河南豫南豫北联考已知直线yx1与双曲线1(a0，b0)交于A，B两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A. B.C2 D.答案：B解析：由题意得M(1,2)设A(x1，y1)，B(x2，y
4、2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得kABkOM2.b22a2，即c2a22a2，e.故选B.82019福州四校联考过双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x答案：A解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以，解得ab，所以该双曲线的渐近线的斜率为1，所以该双曲线的渐近线方程为yx，故选A.二、非选择题92019辽宁沈阳月考已知方程mx
5、2(2m)y21表示双曲线，则实数m的取值范围是_答案：(，0)(2，)解析：mx2(2m)y21表示双曲线，m(2m)0.解得m2.102019广东揭阳普宁市华侨中学模拟过双曲线x21的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|4，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_答案：12解析：由题意，|PF2|PF1|2，|QF2|QF1|2. |PF1|QF1|PQ|4，|PF2|QF2|44，|PF2|QF2|8.PF2Q的周长是|PF2|QF2|PQ|8412.11已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案：y21解析：解法一双曲线的渐近线方程
6、为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.解法二渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.122019郑州模拟已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，直线FM交另一条渐近线于N，若2，则双曲线的渐近线方程为_答案：yx解析：由题意得双曲线的渐近线方程为yx，F(c,0)，则|MF|b，由2，可得，所以|FN|2b.在RtOMF中，由勾股定理，得|OM|a，因为MOFFON，所以由角平分线定理可得，|ON|2a，在RtOMN中，由|OM|2|MN|
7、2|ON|2，可得a2(3b)2(2a)2,9b23a2，即，所以，所以双曲线C的渐近线方程为yx.刷题课时增分练 综合提能力课时练赢高分一、选择题12019合肥检测下列双曲线中，渐近线方程不是yx的是()A.1 B.1C.1 D.1答案：D解析：对于A，渐近线方程为y xx；对于B，渐近线方程为yxx；对于C，渐近线方程为yx；对于D，渐近线方程为yx.故选D.2已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案：A解析：由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，所以a25，b220，所以双曲
8、线的标准方程为1.32019山东潍坊模拟曲线yx2在点P(1,1)处的切线与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是()A5 B.C. D.答案：B解析：由yx2求导，得y2x，ky|x12.函数yx2在点P(1,1)处的切线与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行，2，e，故选B.4若双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为()A. B.C2 D.答案：A解析：因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以21，可得ab，双曲线为等轴双曲线，故e.52018全国卷双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx答案：A解析：双曲线1
9、的渐近线方程为bxay0.又离心率，a2b23a2.ba(a0，b0)渐近线方程为axay0，即yx.故选A.62019河南郑州月考已知点A是双曲线1(a0，b0)右支上一点，F是右焦点若AOF(O是坐标原点)是等边三角形，则该双曲线的离心率e为()A. B.C1 D1答案：D解析：依题意及三角函数定义得点A，即A.代入双曲线方程1(a0，b0)，得b2c23a2c24a2b2.又由c2a2b2，得e242，解得e1.故选D.72019黑龙江海林月考已知双曲线1(a0，b0)若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且3，则双曲线离心率的最小值为()A. B.C2 D2答案：C解析：因为过
10、右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)因为3，所以cx13(cx2)，所以3x2x12c.因为x1a，x2a，所以x1a,3x23a，所以3x2x14a，即2c4a，所以2，即e2，所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.8如图，F1，F2是双曲线1(a0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A，B，若ABF2为等边三角形，则BF1F2的面积为()A8 B8C8 D16答案：C解析：由|AF1|AF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，在A
11、F1F2中，|AF1|6a，|AF2|4a，|F1F2|2c，F1AF260，由余弦定理得4c236a216a226a4a，化简得ca，由a2b2c2得，a2247a2，解得a2，则BF1F2的面积为|BF1|BF2|sinF1BF22a4a8.二、非选择题9已知圆C：(x3)2y24，定点A(3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为_答案：x21(x1)解析：设动圆M的半径为R，则|MC|2R，|MA|R，|MC|MA|2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a1，c3，b28，则动圆圆心M的轨迹方程为x21(x1)102019海淀模拟双曲线1(a0
12、，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.答案：2解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.11过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求；(2)求AOB的面积解析：(1)由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x26x270.x1x2，x1x2.(2)直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|d.