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1、第六章 常用思想方法6.1数形结合思想数形结合就是把数量关系和直观的空间图形结合起来思考，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.例1：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图6.1-1，根据图象解答下列问题，（1）写出方程ax2+bx+c=0 的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c 0 的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。分析：（1）由二次函数与相应的一元二次方程的关系及其图象可知方程ax2+bx+
2、c=0 的两个根为1 和3；（2）由二次函数与不等式的关系，结合图象易知解集为1x2；（4）由图象可知，二次函数的顶点坐标为（2，2），与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）易求函数的解析式，由根的判别式即可求出k 的取值范围。 图6.1-1例2：已知试求的最小值.图6.1-2解析：作出图6.1-2，赋予以上式子如下的几何意义，所以求的最小值，即求的最小值，当三点共线时值最小，最小值为。可见数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合的思想确切地反映了客观事物深层次的内在联系和矛盾统一的辩证规律。6.2分类讨论思想分类讨论的数学思想方法，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象
3、按某个标准分类，对每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。例1：已知关于x 的方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0 有实数根，求a的取值范围.分析：题中并没有指明关于x的方程是一次方程还是二次方程，所以要分a2-1=0 与a2-10 两种情况讨论。当a2-1=0，即a=1时，方程为一元一次方程，有一个解；当a2-10时，方程为一元二次方程，由4(a+2)2-4(a2-1)0，得a且 综合上述：可得a 的取值范围是a本题对方程的次数进行分类讨论是结论完整的关键。例2：:解方程：3-2AB解法1：由绝对值的定义，求出
4、各绝对值的零点：-2，3，把数轴分成三段：x3，-2x3，x-2，就可去掉绝对值转化为我们能解的方程.解法2：的几何意义是：数轴上到表示-2的点A和表示3的点B的距离之和等于5的点表示的数是什么？易知，点在的区间内都符合题意.分类讨论思想是确保问题的结论完整，不重不漏的关键.分类的原则是：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论.6.3函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念与性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语
5、言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，方程是从算术方法到代数方法中寻找等量关系的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目.例3 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20 元每千克，市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元每千克）有如下关系：w=-2x+80。设这种产品每天的销售利润为y（元），（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28 元每千克，若该农
6、户想要每天的销售利润最大，销售价应定为多少元？最大利润是多少？若该农户想要每天获得150 元的销售利润、销售价应定为多少元？分析：第（1）问题容易解决，y=-2x2+120x-1600；第(2)是利用二次函数的性质求最值的问题，易得当销售价定为30 元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200 元；第（3）涉及到自变量的取值范围受到条件限制的函数最值的求法，结合函数图像利用函数的性质进行求解，y=-2(x-30)2+200，a=-2，抛物线的开口方向向下，对称轴是x=30，x28 不符合题意舍去，该农户想要每天获得150 元的销售利润，销售价应定为25 元每千克。本题考查运用函数思想方法解
7、决实际问题的能力，考查实际问题中函数的最值情况.在解决实际问题中常涉及最值问题，通过建立目标函数，利用函数图像及其性质求最值的方法解决。涉及到实际问题的自变量须要考虑受实际条件的限制，这是正确解题的关键所在.例4 如图，已知A、B两点的坐标分别为(，0)、(0，2)，P 是AOB 外接圆上的一点，且AOP=，则点P的坐标为_.解析：过点P作PCOA 于点C，连结PA、PB.由BOA=90，可知AB是直径，易求AB=4，由图可知BOP=AOP=，所以BP=AP，PC=OC。可求得BP=AP=。设PC=OC=x，则AC=2 3-x。在RtACP 中，利用勾股定理建立方程即得：，从而解得图6.3-1
8、6.4转化与化归思想“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙.事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程转化等,都是转化思想的体现.例5 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是_cm.解析：若把圆柱的侧面展开，容易看出是个很熟悉的矩形，利用在同一平面内，两点之间，线段最短，就可以把问题转化为解直角三角形了，利用勾股定理即可求解。体现了由立体图形向平面图形的转化，化难为易的转化.图6.4-16.
9、5整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。例6：计算：解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设，则原式整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少
10、运算量的目的。例7：计算：解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。原式=习题61. 如图，数轴上A、B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为_CAOB2.一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y2。则这个一次函数的解析式为_.3.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有_个. 4.，且，则_.5.直角三角形的任意两条边长分别为3 和4，求这个三角形的外接圆半径等于多少?6.已知:等腰直角三角形ABC中，AB = BC = 6，若点P为线段BC边上的一个动点，PQAB交AC于
11、点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点C与线段MN不在线段PQ的同侧，设正方形PQMN与ABC的公共部分的面积为S，CP的长为x( 1) 试写出S与x之间的函数关系式;( 2) 当P点运动到何处时，S的值为8（2012江苏苏州，28，9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；记DGP的面积为S1，CDG的面积为S2，试说明S1-S2是常数；当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.（2012南京市中考题6）（2012南京市中考题10）