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1、3.2 导数与函数的小综合,-2-,知识梳理,考点自诊,1.导函数的符号和函数的单调性的关系 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数 ,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的; 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函数f(x)是 的. 2.函数的极值与导数 (1)函数的极大值点和极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为 ,其函数值f(x0)为函数的 . (2)函数的极小值点和极小值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都 ,称点x0为函数y=f(x)的极小值点
2、,其函数值f(x0)为函数的 .,f(x)0,减少,函数y=f(x)的极大值点,极大值,大于x0点的函数值,极小值,-3-,知识梳理,考点自诊,(3)极值和极值点:极大值与极小值统称为 ,极大值点与极小值点统称为 . (4)求可导函数极值的步骤: 求f(x). 求方程 的根. 检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .,极值,极值点,f(x)=0,极大值,极小值,-4-,知识梳理,考点自诊,3.实际问题中导数的意义 中学物理中,速度是 关于时间的导数,线密度是_的导数,功率是 的导数. 4.函数的
3、最值与导数 (1)最大值点:函数y=f(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).函数的最小值点也有类似的意义. (2)函数的最大值:最大值或者在 取得,或者在区间的端点取得. (3)最值:函数的 和 统称为最值. (4)求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值; 将f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,路程,质量关于长度,功关于时间,极大值点,最大值 最小值,f(a),f(b),-5-,知识梳理,考点自诊,1.若函数f(x)的图像连续不断,则f(x)在a,b上一定有最值. 2.
4、若函数f(x)在a,b上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果函数f(x)在(a,b)内是增加的,那么一定有f(x)0.( ) (2)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),-7-,知识梳理,考点自诊,2.如图是函数y=f(x)的
5、导函数f(x)的图像,则下面判断正确的是 ( ) A.在区间(-2,1)内,f(x)是增加的 B.在区间(1,3)内,f(x)是减少的 C.在区间(4,5)内,f(x)是增加的 D.在区间(2,3)内,f(x)不是单调函数,C,3. 已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2,D,解析:f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2, 易得f(x)在(-2,2)内单调递减,在(-,-2),(2,+)内单调递增, 故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.,-8-,知识梳理,考点自诊,4.(2018
6、山东师大附中一模,11)若f(x)=- x2+mln x在(1,+)是减少的,则m的取值范围是( ) A.1,+) B.(1,+) C.(-,1 D.(-,1),C,x|x1或x-1,g(x)在R上为减函数,不等式等价于g(x2)1,得x1或x-1.,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,利用导数研究函数的单调性 例1(2018福建龙岩4月质检,21改编)已知函数 , mR,求函数f(x)的递增区间.,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间? 解题心得1.求f(x)的单调区间,要先确定函数的定义域
7、.再判断f(x)的正负.若f(x)不含参数,但又不好判断正负,将f(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负. 2.在求函数f(x)的单调区间时,若f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(2018衡水中学金卷一模,21改编)已知函数f(x)=ax2ex (aR,e为自然对数的底数).当a0时,讨
8、论函数f(x)的单调性.,解 由题知,f(x)=2axex+ax2ex=aex(x2+2x)=aexx(x+2). 当a0时,令f(x)0,得x0.令f(x)0,得-20. 函数f(x)的递减区间为(-,-2),(0,+),递增区间为(-2,0).,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,函数单调性的应用(多考向) 考向1 利用函数单调性比较大小,思考本例题如何根据条件比较三个数的大小?,A,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 利用函数单调性求参数的范围 例3(1)(2018河北衡水中学押题二,11改编)若函数f(x)=mln x+x2-mx在区间(0,+)内递增,则正实数m的
9、取值范围为( ) A.0,8 B.(0,8 C.8,+) D.(8,+) (2)(2017江苏,11)已知函数 ,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是 .,B,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考如何利用函数的单调性求参数的范围? 解题心得1.比较大小时,根据三个数的特点结合已知条件构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较. 2.利用函数的单调性求参数的范围问题要视情况而定,若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立
10、问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到;若已知函数不等式求参数范围,先求函数的导数,确定函数的单调性,再由函数的单调性脱掉函数符号得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围;也可以根据条件采取分离参数法.,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,求函数的极值、最值 例4(1)(2017全国2,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 (2)(2018江苏,11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(
11、aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为 .,A,-3,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)由题意可得, f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1. 因为x=-2是函数f(x)的极值点, 所以f(-2)=0.所以a=-1. 所以f(x)=(x2-x-1)ex-1. 所以f(x)=(x2+x-2)ex-1. 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-
12、1, 故选A.,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考函数的导数与函数的极值、最值有怎样的关系? 解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,反之,若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.利用导数研究函数极值的一般流程:,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,4.求函数f(x)在a,b上
13、的最大值和最小值的步骤: (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,ln a,D,当a0时,f(x)0,f(x)为R上的增函数,f(x)无极值. 当a0时,令f(x)=0,得ex=a,即x=ln a. x(-,ln a)时,f(x)0, f(x)在(-,ln a)上递减,在(ln a,+)上递增, 故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a.,-26-,考点1,考点2,考点3,考
14、点4,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,已知极值或最值求参数范围 例5若函数f(x)=ax3+(a-1)x2-x+2(0x1)在x=1处取得最小值,则实数a的取值范围是( ),C,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考已知极值或最值如何求参数的范围? 解题心得已知极值求参数:若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,D,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.函数y=f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在(a,b
15、)内是增加的;f(x)0f(x)在(a,b)内是减少的. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求定义域及f(x); (2)求f(x)=0的根; (3)判定定义域内的根两侧导数的符号; (4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,最值可以在区间的端点处取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,