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1、课时跟踪检测（十一） 空间几何体的体积层级一学业水平达标1一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，则该圆锥的体积为()A.B.C. D.解析：选C设圆锥侧面展开图的弧长为l，则l.设圆锥的底面半径为r，则2r，r.V2.2一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为()A4 B4C11 D24解析：选A设正方体棱长为1，则S正方体侧S圆柱侧4，设圆柱的底面半径为r，则2r14，r，V正方体1，V圆柱21.V正方体V圆柱4.3一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为()A49 B94C427 D274解析：选C设球的半径为r，则圆锥
2、的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则r3(3r)2h，解得hr，所以圆锥的高与底面半径之比为.4已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4C2 D.解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13.故选D.5.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为()A16 B8C4 D.解析：选B设ABa，AA1b，由2a2b2，得b22a2，又a26.解得a28.可得a2，b4，V848.6在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120，若使AB
3、C绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是_解析：VV大圆锥V小圆锥()2(11.51).答案：7已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)26，故长方体的体积Vabc.答案：8已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的体积是_解析：过正方体的对角面作截面如图故球的半径r，其体积V()3.答案：9.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高(1)证明平面PAC平面PBD；(2)若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：因为
4、PH是四棱锥PABCD的高，所以ACPH.又ACBD，PH，BD都在平面PBD内，且PHBDH，所以AC平面PBD，又AC平面PAC，故平面PAC平面PBD.(2)因为底面ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB，所以HAHB.因为APBADB60，所以PAPB，HDHC1，可得PH.等腰梯形ABCD的面积为SACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).10已知正四棱台两底面面积分别为80 cm2和245 cm2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm，求正四棱台的体积解：如图，SO35，AO2， AO，由，得SO20.OO15.V正四棱台15(80245)2 325.即正四棱台的体积为2
5、325 cm3.层级二应试能力达标1.已知正三棱锥SABC，D，E分别为底面边AB，AC的中点，则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为()A12B23C34 D14解析：选C两锥体高相等，因此VSBCEDVSABCSBCEDSABC34.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，如果ABAC，BB1BC6，E，F为侧棱AA1上的两点，且EF3，那么多面体EFBB1C1C的体积为()A30 B18C15 D12解析：选AABC中，BC边上的高h2，V柱BChBB162636，VEABCVFA1B1C1V柱6，故VEFBB1C1C36630.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，
6、容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm3解析：选A如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R5.V球53(cm3)4已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C2 D4解析：选B绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，
7、故所求几何体的体积V22.5已知正方体的体对角线长等于2 cm，它的顶点中有4个在半球O的底面上，另外4个在半球O的表面上，那么半球O的体积为_cm3.解析：过正方体的对角面作截面如图设半球O的半径为R.A1C2 cm，又AB2AC2AAA1C2，3AA12.A1A2 cm，AC2 cm.A1OR(cm)VR3()34(cm3)答案：46(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_解析：由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥2()21.答案：7已知四面体A
8、BCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z.VDABEDESABEV长方体同理VCABFVDACGVDBCHV长方体V四面体ABCDV长方体4V长方体V长方体而V长方体23424.V四面体ABCD8.8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比解：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEFA1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得设棱柱的底面积为S，高为h，则AEF的面积为S，令V1VAEFA1B1C1hhS，剩余的不规则几何体的体积为V2VV1hShShS，所以两部分的体积之比为V1V275.