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1、数学归纳法及其应用举例,白银市第八中学 杨言红,导引一,问题1 已知,，(nN*),(1)分别求,(2)由此你能得到一个什么结论? 这个结论正确吗?,问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN 时， 一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立,问题3 ,当nN时，是否都为质数？,验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151
2、， ， f（39）1 601,但是 f（40）1 681 ，是合数,导引二,引例 1,明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的,引例 2,有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明,又如：给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式,又如：
3、证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况,数学证明方法有：,1.演绎法：从一般到特殊的方法,2.归纳法：从特殊到一般的方法,(1) 不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理 。,(2) 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等,不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法 。由它得出的结论未必正确。,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 。,新知识,(1)
4、当n1时等式成立；,(2) 假设当nk时等式成立, 即ak=a1+(k1)d , 则 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即 nk1时等式也 成立,证明等差数列通项公式：,数学归纳法引导：,an=a1+(k1)d， nN*,于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公式 an=a1+(n1)d 对任何nN*都成立,数学归纳法,完成这两个步骤后, 就可以断定命题P(n)对从n0开始的所有正整数n都成立,(1) 证明当n取第一个值n = n0 （n0）时P(n)成立;,第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 :,(2) 假设当nk (kN*, kn0 ) 时P(n)成立,
5、由此推得当nk1时P(n)也成立,1. 第一步(1) ，是否可省略？,答案是：不可以省略。,思考,下面举一个反例。,2462n n+1(nN)成立吗？,问题：,用数学归纳法证明:,2462n n+1(nN)的步骤如下：,假设当nk时等式成立。 即 2462k k1,则 2462k2（k1） ,k1 2（k1）, （k1）1,这就是说，当nk1时等式成立。 根据数学归纳法2462n n+1对nN都正确。,评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 没有步骤（1）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！,证明：,当n=1时，左边2，右边3，等式不成立；,哪错了？,
6、？,2.第二步.(2) ，从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？,这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。,归纳： 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,思考,第三阶段:例题讲解：,例题2 用数学归纳法证明,证明： （1）当n=1时，左边121，右边 等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,例3 用数学归纳法证明,证明：,（1）当n=1时，左边144，右边1224，等式成
7、立。,（2）假设当n=k时，等式成立，就是,根据（1）和（2），可知 等式对任何nN都成立。,这就是说，当n=k+1时等式也成立。,例，用数学归纳法证明：,1.用数学归纳法证明： 135（2n1）n2 .,练习,4. 若n为大于1的自然数，求证:,5 试证：对一切大于等于1的自然数n,都有：,小结：,(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法； (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法； (3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想
8、，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉； (4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想,第二阶段:新旧知识相互作用阶段,完成这两个步骤后, 就可以断定命题P(n)对从n0开始的所有正整数n都成立,(1) 证明当n取第一个值n = n0 （n0）时P(n)成立;,第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 :,(2) 假设当nk (kN*, kn0 ) 时P(n)成立, 由此推得当nk1时P(n)也成立,例已知对任意,且,求证：,例2已知数列,满足：,试证：,且 时,（2）假设nk时
9、：,那么当n=k+1时由,所以：,所以：,即n=k+1时命题成立,由（1）、（2）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立,数学归纳法的其他形式：,完成这两个步骤后, 就可以断定命题P(n)对从n0开始的所有正整数n都成立,(1) 证明当n，时，P()， P()， P()成立;,1.跳跃数学归纳法 ：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 :,(2) 假设当nk (kN*, k ) 时P(n)成立, 由此推得当nks时P(n)也成立,例1如果正整数,不是6的倍数，则,，不是7的倍数,例2证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形（提示：跨度为3）,6个正方形,7个正方形,8个正方形,所以
10、，综上可得原命题成立。,3.试证明面值为分和分的邮票可支付任何 的邮资,4.设n为不小于6的自然数，证明：可以将一个1个正三角形分成n个较小的正三角形。,数学归纳法的其他形式：,那么根据（1）、（2）, 就可以断定命题P(n)对一切正整数n （n0 ）都成立,(1) P(n)对无限多个正整数n成立;,2.反向数学归纳法 ：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 :,(2) 假设当nk (kN*, kn0 +1) 时P(k)成立, 由此推得当nk-1时P(k-1)也成立,例1设,都是正数，证明：,数学归纳法的其他形式：,那么根据（1）、（2）、（3）就可以断定命题P(n）、Q（n）对一切正整
11、数n （n0 ）都成立,(1) P(n0) (n0 N*)成立；,3. （螺旋式归纳法） ：设P(n)和Q（n）是两个与自然数有n关的命题，如果 :,(2) 假设P(k) (kN*, kn0)成立,能推出Q(k)也成立；,(3) 假设Q(k)(kN*, kn0)成立, 能推出P（k+1)也成立；,求证：,应用数学归纳法的技巧,（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数都成立，但命题本身对n=0也成立，而且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证n=0成立代替验证n=1同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点，当然也可以起点后移。,应用数学归
12、纳法的技巧,（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多,（4）选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于“假设 n=k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用,（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明,归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步
13、检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法,应用数学归纳法的一般方法,例1设,例2已知,例4 已知,求证：,例5 证明:,分析：现考虑f(n)0,并且在归纳n=k+1时有:,5/3-f(k)+1/(k+1)f(k)-f(k+1)1/(k+1),原命题就可以转化为证明: 1+（1/2）+（1/3）+.+（1/n）5/3-1/n(nm),考虑到1/(k+1)1/(k*(k+1)=1/k-1/(k+1),因此可以取f(k)=1/k,取m=5（起点后移）,证明一：,证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）,例6 求证：,对任意正整数n都成立,例7、已知数列,的各项都是正数,且满足,(2).求数列,的通项公式,(1).证明,1当n=1时，,，命题正确.,（1）证法一：,2假设n=k时有,则,时,而,又,由1、2知，对一切nN时有,时命题正确.,证法二：,即,（2）下面来求数列的通项：,证明：设,且,若删去,可取n-1，n-3，n-4，故有：,（2）,下面用数学归纳法证明（请同学们完成）,例9,例11、已知数列,中，,求证：,均有：,且,提示：,例12 设整数数列,满足,且,证明：任意正整数n,是一个整数的平方,